Diofantea...

[jJjjJ1]

\(\displaystyle xy + 5(x + y) = 2005 \) Quante coppie ordinate positive \(\displaystyle (x; y) \) soddisfano l'equazione?

Vorrei vedere cosa tirate fuori voi, perché a me è venuta una soluzione (Non so neanche se giusta) un po' pasticciata, la spoilero.

\(\displaystyle xy + 5(x + y) = 5 * 401 \), perciò il membro a sinistra deve essere divisibile per 5, e affinché ciò sia vero deve essere \(\displaystyle 5 | xy \), quindi \(\displaystyle 5 | x \vee 5 | y \). Il che è indifferente poiché x e y compaiono nell'equazione "con gli stessi coefficienti" e nel prodotto xy. Quindi diciamo che \(\displaystyle 5 | x \).

L'equazione può essere riscritta come \(\displaystyle (x + 5)(y + 5) = 2030 \) aggiungendo 2030 ad ambo i membri.

\(\displaystyle 2030 = 2 * 5 * 7 * 29 \), e poiché si cercano x e y positivi, anche \(\displaystyle x + 5\) e \(\displaystyle y + 5 \) saranno positivi. Inoltre, poiché per ipotesi \(\displaystyle 5 | x \), allora \(\displaystyle 5 | (x + 5) \), quindi \(\displaystyle x + 5 \)sarà un divisore di 2030 multiplo di 5, questi divisori sono:
5 -> x=0, non accettabile, si cerca x > 0
10 -> x=5 y=401
35 -> x=30 y=53
70 -> x=65 y=24
145 -> x=140 y=9
290 -> x=285 y=2
1015 -> x=1010 y=-3 Non accettabile
2030 -> x=2025 y=-4 Non accettabile

Perciò \(\displaystyle (x ; y) = (5; 401), (30; 53), (65; 24), (140; 9), (285; 2) \) In tutto 5 coppie.

[superpippone]

Per quel poco che ne capisco,direi che potrebbe andare.
Però la prima coppia non è $5;401$ ma $5;198$
Inoltre nella spiegazioni dici che aggiungi 2030 ad entrambi i membri, mentre in realtà "arrivi" a 2030 e pertanto aggiungi 25.

[jJjjJ1]

Si ho fatto un po' di confusione nello scrivere veloce, aggiungo 25 e y = 198

[j18eos]

Io svolgerei il tuo stesso ragionamento!