Dimostrazioni per induzione, disequazioni
Ciao a tutti, ho qualche problema nello svolgere dimostrazioni per induzione quando compaiono delle disequazioni. Ho ben capito il procedimento da adottare in via teorica, ma in pratica riesco ad ottenere dei risultati corretti solo quando in ballo ci sono delle uguaglianze. Probabilmente, direte voi, il problema sta nel fatto che "mi manca l'occhio", per questo chiedo aiuto a voi, magari qualche consiglio o procedimento (i cosiddetti "trucchetti"..) da parte vostra potrebbero illuminarmi.
Prendiamo ad esempio il seguente esercizio:
\(\displaystyle \sum _{k=1}^n \frac{1}{k^3} \leq \frac{3}{2}-\frac{1}{2n} \)
La base è verificata facilmente per $n=1$, ottenendo così $1=1$. Fatto ciò, assumo vero su $n$, e dimostro che $P(n) => P(n+1)$.
Dunque posso scrivere la sommatoria fino a $n+1$:
\(\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^3} =( \sum _{k=1}^{n} \frac{1}{k^3} ) + \frac{1}{(n+1)^3} \)
che per hp induttiva diventa:
\(\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^3} =( \sum _{k=1}^{n} \frac{1}{k^3} ) + \frac{1}{(n+1)^3} = \frac{3}{2}-\frac{1}{2n} + \frac{1}{(n+1)^3}\)
A questo punto mi blocco tra una marea di calcoli che non mi portano da nessuna parte... Ho pensato di dover provare a minorare il termine $\frac{1}{2n} + \frac{1}{(n+1)^3}$ con $\frac{1}{2n+2}$ in modo da poter sostituire nella disequazione un termine più piccolo di quello cercato, andando così a verificare la disuguaglianza. Ma anche qui ho fatto una miriade di buchi nell'acqua... Come devo procedere? Non riesco proprio a superare la difficoltà che ho nello svolgere esercizi di questo genere...
Prendiamo ad esempio il seguente esercizio:
\(\displaystyle \sum _{k=1}^n \frac{1}{k^3} \leq \frac{3}{2}-\frac{1}{2n} \)
La base è verificata facilmente per $n=1$, ottenendo così $1=1$. Fatto ciò, assumo vero su $n$, e dimostro che $P(n) => P(n+1)$.
Dunque posso scrivere la sommatoria fino a $n+1$:
\(\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^3} =( \sum _{k=1}^{n} \frac{1}{k^3} ) + \frac{1}{(n+1)^3} \)
che per hp induttiva diventa:
\(\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^3} =( \sum _{k=1}^{n} \frac{1}{k^3} ) + \frac{1}{(n+1)^3} = \frac{3}{2}-\frac{1}{2n} + \frac{1}{(n+1)^3}\)
A questo punto mi blocco tra una marea di calcoli che non mi portano da nessuna parte... Ho pensato di dover provare a minorare il termine $\frac{1}{2n} + \frac{1}{(n+1)^3}$ con $\frac{1}{2n+2}$ in modo da poter sostituire nella disequazione un termine più piccolo di quello cercato, andando così a verificare la disuguaglianza. Ma anche qui ho fatto una miriade di buchi nell'acqua... Come devo procedere? Non riesco proprio a superare la difficoltà che ho nello svolgere esercizi di questo genere...
Risposte
In pratica devi dimostrare che $ -\frac{1}{2n} + \frac{1}{(n+1)^3} <= -1/(2(n+1))$, sei d'accordo?
Questo equivale a dimostrare che
$1/(2n) -1/(2(n+1))>= 1/(n+1)^3<=> 1/[2n(n+1)]>= 1/(n+1)^3<=> 1/(2n) >= 1/(n+1)^2<=> $
$<=> 2n<=(n+1)^2<=>0<=n^2+1$, e quest'ultima disequazione è sempre vera.
PS: se qualche passaggio non ti è chiaro, chiedi pure
Questo equivale a dimostrare che
$1/(2n) -1/(2(n+1))>= 1/(n+1)^3<=> 1/[2n(n+1)]>= 1/(n+1)^3<=> 1/(2n) >= 1/(n+1)^2<=> $
$<=> 2n<=(n+1)^2<=>0<=n^2+1$, e quest'ultima disequazione è sempre vera.
PS: se qualche passaggio non ti è chiaro, chiedi pure
Ti ringrazio molto, ho capito come svolgere questo esercizio. Stavo cercando di svolgere un "controesempio" da proporre, per verificare se effettivamente ho compreso lo schema risolutivo, ma non sono molto sicuro della tecnica da me utilizzata:
$2^n >= 2n^2-n-5$
La base è verificata per $n=0$, dunque il passo induttivo prevede:
$2^{n+1} >= 2(n+1)^2-(n+1)-5$.
Utilizzando l'ipotesi induttiva, posso scrivere:
$2^{n+1} = 2 2^n >= 2 (2n^2-n-5)$
Ora, mostrando che: $2 (2n^2-n-5) >= 2(n+1)^2-(n+1)-5$, posso concludere che la proprietà è verificata per ogni $n$.
Dunque la verifica si limita a:
$2 (2n^2-n-5) >= 2(n+1)^2-(n+1)-5$
$4n^2-2n-10 >= 2n^2+3n-4$
$3n^2-5n-8 >= 0$
$(n+1)(3n-8)>=0$
sempre vera per $n!=-1$,$n!=8/3$.
Essendo in $N$, e avendo imposto la condizione $n>=0$, la proprietà è sempre verificata.
E' corretto? Il passo dove utilizzo l'ipotesi induttiva non mi convince molto...
$2^n >= 2n^2-n-5$
La base è verificata per $n=0$, dunque il passo induttivo prevede:
$2^{n+1} >= 2(n+1)^2-(n+1)-5$.
Utilizzando l'ipotesi induttiva, posso scrivere:
$2^{n+1} = 2 2^n >= 2 (2n^2-n-5)$
Ora, mostrando che: $2 (2n^2-n-5) >= 2(n+1)^2-(n+1)-5$, posso concludere che la proprietà è verificata per ogni $n$.
Dunque la verifica si limita a:
$2 (2n^2-n-5) >= 2(n+1)^2-(n+1)-5$
$4n^2-2n-10 >= 2n^2+3n-4$
$3n^2-5n-8 >= 0$
$(n+1)(3n-8)>=0$
sempre vera per $n!=-1$,$n!=8/3$.
Essendo in $N$, e avendo imposto la condizione $n>=0$, la proprietà è sempre verificata.
E' corretto? Il passo dove utilizzo l'ipotesi induttiva non mi convince molto...
Il procedimento è impostato bene (come prima, del resto), e questo è molto positivo perchè è nel procedimento che ci si blocca di solito.
Credo che tu abbia fatto un errore di calcolo quando passi da $4n^2-2n-10>= 2n^2+3n-4$ a $3n^2-5n-8>=0$.
Dovrebbe venire $2n^2-5n-6>=0$
Credo che tu abbia fatto un errore di calcolo quando passi da $4n^2-2n-10>= 2n^2+3n-4$ a $3n^2-5n-8>=0$.
Dovrebbe venire $2n^2-5n-6>=0$
Hai ragione, c'è un errore. Dunque:
$2n^2-5n-6 >= 0$
le radici sono: $(5+-sqrt(73))/4$. Siccome $sqrt(73)<9$ e $(5+9)/4 < 4$, per $n>=4$ la proprietà è valida. Posso prendere per buona questa approssimazione o ho commesso altri errori?
Ti ringrazio per la disponibilità!
$2n^2-5n-6 >= 0$
le radici sono: $(5+-sqrt(73))/4$. Siccome $sqrt(73)<9$ e $(5+9)/4 < 4$, per $n>=4$ la proprietà è valida. Posso prendere per buona questa approssimazione o ho commesso altri errori?
Ti ringrazio per la disponibilità!
"Smoke666":Il concetto è giusto ma è spiegato male.
$2n^2-5n-6 >= 0$
le radici sono: $(5+-sqrt(73))/4$. Siccome $sqrt(73)<9$ e $(5+9)/4 < 4$, per $n>=4$ la proprietà è valida. Posso prendere per buona questa approssimazione o ho commesso altri errori?
L'equazione $2x^2 -6x-6=0$ ha come radici $x_(1,2)= (5+-sqrt(73))/4$, quindi la disequazione $2n^2-5n-6 >= 0$ ha come soluzione $n<= (5-sqrt(73))/4 vv n>= (5+sqrt(73))/4$. Ora, $(5-sqrt(73))/4<0$ quindi non ci interessa, mentre $(5+sqrt(73))/4$ è un numero tra $3$ e $4$.
Questo significa che per $n>=4$ è vera l'ipotesi induttiva. Per $n=0,1,2,3$ non abbiamo garanzie che il passo induttivo valga (non è che necessariamente non vale,... semplicemente non abbiamo abbastanza strumenti per dire se vale).
Per completare il tutto dobbiamo solo verificare che la proprietà $2^n >= 2n^2 -n-5$ valga anche per $n=1,2,3,4$
($0$ l'hai già fatto, non lo considero). Sottolineo che devi verificare anche con $n=4$ (perchè?
)
Ok quindi basta fare le semplici sostituzioni per $n=1,2,3,4$. Il 4 deve essere verificato anch'esso in quanto stiamo considerando il maggiore stretto, e dalla verifica precedente non abbiamo ottenuto un risultato "forte" che ci dice se per 4 è verificata la proprietà o meno. Avendo ottenuto un valore compreso tra 3 e 4, è possibile che agli estremi di questo intervallo la proprietà non valga. Giusto?
Ehm, no. Se fai i conti viene che $(5+sqrt73)/4$ è circa $3.386$,
quindi (siccome stiamo considerando numeri naturali) dire $n>= (5+sqrt73)/4$ e dire $n>=4$ è la stessa cosa.
Pertanto il maggiore non è stretto.
quindi (siccome stiamo considerando numeri naturali) dire $n>= (5+sqrt73)/4$ e dire $n>=4$ è la stessa cosa.
Pertanto il maggiore non è stretto.
Mmmm allora devo rifletterci un po meglio... Se il 4 è compreso nel risultato che abbiamo ricavato dalla dimostrazione, perchè è necessario verificarlo "separatamente", cosa che non devo fare, ad esempio, con il 5?
In questo momento, se rappresentassi su una retta i valori per i quali la proprietà è verificata, segnerei tutti quelli dal 4 in poi, più lo 0. Resta da analizzare lo spazio tra 1 e 4, ma il 4 è già stato "analizzato", così come lo 0.... non capisco...
In questo momento, se rappresentassi su una retta i valori per i quali la proprietà è verificata, segnerei tutti quelli dal 4 in poi, più lo 0. Resta da analizzare lo spazio tra 1 e 4, ma il 4 è già stato "analizzato", così come lo 0.... non capisco...
Aiutino: noi abbiamo dimostrato che per ogni $n>=4$ si ha $P(n)=> P(n+1)$.
Scusa per il ritardo, pensavo di aver risposto, ma la connessione evidentemente ha fato i capricci. Dunque, ho interpretato la dimostrazione necessaria per $n=4$ come una sorta di "nuova induzione" che ha come base proprio $4$. Può essere plausibile?
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