Dimostrazioni di algebra

[federico2357]

Ciao a tutti, sono in difficoltà con queste due esercizi di algebra:

Dimostrare che $4^n + n^4$, $n>1$ non è mai primo.

Dimostrare che se $p$ è primo e $p^2 + 8$ è primo, allora $p^3 + 4$ è primo.

Come dovrei procedere? Ho provato a fare delle considerazioni ma non sono arrivato da nessuna parte...

Grazie

[Studente Anonimo]

Ciao, benvenuto.

Prova a riportare qui le tue considerazioni

[federico2357]

Grazie del benvenuto

Nel primo: se n è pari, sicuramente 2 divide quindi non è primo; se n è dispari, riducendo mod 5, $4^n$ è sempre $-1$, $n^4$ fatta eccezione per i multipli di 5, è sempre congruo a $1$, quindi fa 0 e quindi 5 divide tutto; però non riesco a concludere se n è multiplo di 5...

[Studente Anonimo]

"federico2357":Nel primo: se n è pari, sicuramente 2 divide quindi non è primo; se n è dispari, riducendo mod 5, $4^n$ è sempre $-1$, $n^4$ fatta eccezione per i multipli di 5, è sempre congruo a $1$, quindi fa 0 e quindi 5 divide tutto; però non riesco a concludere se n è multiplo di 5...

Ottimo.

Ora potresti osservare (per esempio usando questo) che

[tex]4^{35}+35^4 = 34350564553 \cdot 34368914633[/tex].

Quindi come vedi non ci sono fattori primi piccoli su cui scommettere. Questo suggerisce che è utile cercare decomposizioni polinomiali.

Hai [tex]2^{2n}+n^4[/tex]. E' una somma di due quadrati. Prova a produrre un doppio prodotto.