Dimostrazioni base - Cenni di matematica elementare
Ciao a tutti,
vi scrivo per chiedervi un aiuto o, meglio, un suggerimento. Sono agli inizi del corso di laurea in matematica e del corso di Geometria I: mi sono trovato quasi subito davanti ad una difficoltà afferente alla geometria ma generalizzabile, probabilmente, a un po' tutta la matematica, soiprattutto per uno studente alle prime armi con il formalismo di essa.
Nell'esempio specifico che vengo a proporvi, mi si chiede di dimostrare che le operazioni di unione e intersezione tra insiemi sono commutative (e associative).
Seppure si tratti di un concetto molto intuitivo, dimostrarlo non è tanto immediato, per me che sono a digiuno con i rudimenti di una dimostrazione.
Come avviereste, voi, questa dimostrazione? E quali consigli mi dareste, utili per dimostrare una generica proposizione/teorema o quello che sia?
Vi chiedo scusa per la banalità della questione sollevata, però per me è molto importante.
ps: io sono partito dall'osservazione generica che, nella descrizione di un insieme qualsiasi (laddove, dunque, non è definita una relazione d'ordine) l'ordine con cui gli elementi vengono definiti non ha importanza. Probabilmente, però, non è la strada migliore: sarebbe, forse, meglio partire da due generici elementi?
vi scrivo per chiedervi un aiuto o, meglio, un suggerimento. Sono agli inizi del corso di laurea in matematica e del corso di Geometria I: mi sono trovato quasi subito davanti ad una difficoltà afferente alla geometria ma generalizzabile, probabilmente, a un po' tutta la matematica, soiprattutto per uno studente alle prime armi con il formalismo di essa.
Nell'esempio specifico che vengo a proporvi, mi si chiede di dimostrare che le operazioni di unione e intersezione tra insiemi sono commutative (e associative).
Seppure si tratti di un concetto molto intuitivo, dimostrarlo non è tanto immediato, per me che sono a digiuno con i rudimenti di una dimostrazione.
Come avviereste, voi, questa dimostrazione? E quali consigli mi dareste, utili per dimostrare una generica proposizione/teorema o quello che sia?
Vi chiedo scusa per la banalità della questione sollevata, però per me è molto importante.
ps: io sono partito dall'osservazione generica che, nella descrizione di un insieme qualsiasi (laddove, dunque, non è definita una relazione d'ordine) l'ordine con cui gli elementi vengono definiti non ha importanza. Probabilmente, però, non è la strada migliore: sarebbe, forse, meglio partire da due generici elementi?
Risposte
Secondo me, visto che sei agli inizi, ti conviene affrontare queste dimostrazioni facendo tutti i passaggi. Questi diventeranno per te ovvi nel giro di cinque minuti. Una regola nasometrica (come direbbe Fioravante Patrone): quando devi dimostrare l'uguaglianza di due insiemi, lo strumento da usare è quasi sempre la doppia inclusione. Ovvero $A=B \iff A\subsetB, B \subsetA$. Usa questo per mostrare le uguaglianze che ti interessano, te ne mostro una poi svolgi le altre come esercizio:
Sia $X$ un insieme, $A, B \subset X$. Affermiamo che $AuuB=BuuA$. Infatti sia $x \in AuuB$: per definizione $x \in A$ oppure $x \in B$. In entrambi i casi è $x \in B uu A$, quindi $AuuB \subset B uu A$. Con identico ragionamento si prova che $B uu A \subset A uuB$.
P.S.: Questo post sta meglio nella sezione di Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta.
Sia $X$ un insieme, $A, B \subset X$. Affermiamo che $AuuB=BuuA$. Infatti sia $x \in AuuB$: per definizione $x \in A$ oppure $x \in B$. In entrambi i casi è $x \in B uu A$, quindi $AuuB \subset B uu A$. Con identico ragionamento si prova che $B uu A \subset A uuB$.
P.S.: Questo post sta meglio nella sezione di Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta.
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