Dimostrazione uguaglianza tra insiemi e insiemi delle parti

[fabbrimichele]

Buongiorno a tutti,

sono nuovo del forum e ho una preparazione tecnica informatica ma non troppo matematica, purtroppo.
Sto ristudiando per conto mio un po' di matematica discreta con un vecchio libro dell'università e sono incappato in questo esercizio sull'insieme delle parti:

dimostrare che
\(A = B \Leftrightarrow P(A) = P(B)\).
dove:
\(P(A)\) è l'insieme delle parti di A
e \(P(B)\) quello delle parti di B.

Ora avrei trovato una dimostrazione scritta di mio pugno, ma non sono sicuro sia corretta.

La proprietà (e qui ho già un dubbio, è corretto il se e solo se o vale solo in una direzione?):
\(A = B \Leftrightarrow (A \subseteq B) \wedge (B \subseteq A) \)

mi permette di scomporre la dimostrazione in due parti:
\(A \subseteq B \Leftrightarrow P(A) \subseteq P(B)\)
e \(B \subseteq A \Leftrightarrow P(B) \subseteq P(A)\)

dimostrata la prima, la seconda dimostrazione è uguale.

Dalla definizione di insieme delle parti
\(P(A) = \{ N: N \subseteq A\}\)
\(P(B) = \{ N: N \subseteq B\}\)

posso scrivere:
\( P(A) \subseteq P(B) \Leftrightarrow \)
\( \{N: N \subseteq A \} \subseteq \{ N: N \subseteq B \} \Leftrightarrow \)
\( (N \subseteq A \Rightarrow N \subseteq B) \Leftrightarrow \)
\( N \subseteq A \subseteq B \)

quindi vale
\(A \subseteq B \Leftrightarrow P(A) \subseteq P(B)\)

è equivalente la dimostrazione di
\(B \subseteq A \Leftrightarrow P(B) \subseteq P(A)\)

per cui:
\(A=B\)
\( \Leftrightarrow A \subseteq B \wedge B \subseteq A \)
\( \Leftrightarrow P(A) \subseteq P(B) \wedge P(B) \subseteq P(A) \)
\( \Leftrightarrow P(A) = P(B) \)

[UmbertoM1]

$A=B=>P(A)=P(B)$ è OVVIO.
$P(A)=P(B)=>A=B$ è un po' meno ovvio, ma si può procedere per assurdo supponendo $A!=B$, cioè supponendo che $EEainA:anotinB$ (o viceversa). Considera l'insieme che contiene come unico elemento $a$, esso è un elemento di $P(A)$, ma non di $P(B)$, quindi $P(A)!=P(B)$ contro l'ipotesi.

[PZf]

Concordo con UmbertoM. Mi piacerebbe comunque proporre una dimostrazione alternativa: fa sempre bene saper affrontare lo stesso problema da angolazioni diverse.

E' abbastanza immediato accorgersi che per qualunque insieme $A$ vale \(A=\bigcup\mathcal{P}(A)\), infatti se $a\in A$ allora vale \({a}\in\mathcal{P}(A)\) quindi \(a\in \bigcup \mathcal{P}(A)\). Viceversa, se \(p\in\bigcup \mathcal{P}(A)\) allora, per come è definito \(\mathcal{P}(A)\), esiste un sottoinsieme $A'\subseteq A$ talie che $p\in A'$, ma se $p$ è elemento di $A'$ allora deve essere anche elemento di $A$.

Utilizzando questo fatto \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)=>\bigcup \mathcal{P}(A)=\bigcup \mathcal{P}(B)=>A=B\).

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In ogni caso l'idea di dimostrazione di fabbrimichele è corretta, solo che la proposizione \( (N \subseteq A \Rightarrow N \subseteq B) \Leftrightarrow N \subseteq A \subseteq B \) è scritta in un modo poco preciso: $N$ non è quantificato bene.
La proposizione corretta sarebbe \( (\forall N,N \subseteq A \Rightarrow N \subseteq B) \Leftrightarrow A \subseteq B \).
In ogni caso, sempre seguendo l'idea di fabbrimichele, si poteva scrivere \([\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)]\wedge [A\in\mathcal{P}(A)]\Rightarrow A\in\mathcal{P}(B)\Rightarrow A\subseteq B\).