Dimostrazione teorema su relazione di equivalenza

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Se [tex]R[/tex] è una relazione di equivalenza su un'insieme [tex]X[/tex], la proiezione [tex]pR: X \to X/R[/tex] è una suriezione con nucleo di equivalenza [tex]R[/tex].

Dimostrazione:

per definizione di insieme quoziente gli elementi [tex][x] \in X/R[/tex] sono:
1) non vuoti: [tex]\forall [x] \in X/R, [x] \ne \varnothing[/tex]
2) a due a due disgiunti: [tex]\forall [x],[y] \in X/R, ([x] \cap [y] = \varnothing) \lor ([x] = [y] \Leftrightarrow xRy)[/tex]
3) l'unione ricopre [tex]X[/tex]: [tex]\bigcup_{i \in I}[x_i] = X[/tex]
Segue allora che [tex]Im(pR) = X/R[/tex].

Il nucleo di equivalenza è definito quando: [tex]xRy \Leftrightarrow pR(x)=pR(y)[/tex].

[tex]pR(x) = pr(Y) \Rightarrow xRy[/tex]

Per definizione [tex]pR(x)=[x][/tex] e [tex]pR(y)=[y][/tex], segue allora che [tex][x]=[y] \Rightarrow xRy[/tex].


[tex]xRy \Rightarrow pR(x)=pR(y)[/tex]

Sia [tex]z \in [x] \Rightarrow zRx[/tex] per definizione; per ipotesi [tex]xRy[/tex], allora se [tex]zRx \land xRy \Rightarrow zRy \Rightarrow z \in [y][/tex] per la proprietà transitiva e per la definizione di classe di equivalenza. Ma se [tex]z \in [x] \land z \in [y] \Rightarrow z \in [x]=[y] \Rightarrow pR(x)=pR(y)[/tex].

Che ne dite, è corretta (sia logicamente, sia formalmente) come dimostrazione?

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