Dimostrazione teorema di wilson

[ludovico1987]

Buona sera a tutti,mi interessava comprendere la prima dimostrazione del teorema di wilson presente su wikipedia(it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Wilson) solo che ho mollato tutto quando ho visto la parola gruppo intuendo forse erroneamente che servissero conoscenze di teoria dei gruppi.Mi interessa sapere se è necessario conoscere la teoria dei gruppi per capire la dimostrazione del teorema,e se si se servono molte conoscenze,e se cosi non fosse vorrei sapere se sono facilmente assimilabili anche da un autodidatta.Grazie per il tempo e l'attenzione a tutti

[vict85]

No, l'unica cosa che è necessaria è conoscere il gruppo ciclico in questione. Non usa nulla di teoria dei gruppi tranne le definizioni elementari. Come la seconda richiede qualche dimestichezza con i polinomi ma nessuna conoscenza particolare sui campi. D'altra parte è stato dimostrato prima della nascita della teoria dei gruppi.

[Studente Anonimo]

A proposito di teoria dei gruppi, ecco una curiosa dimostrazione del (l'implicazione difficile del) teorema di Wilson che fa uso della teoria di Sylow: se [tex]p[/tex] è un primo allora un semplice conteggio mostra che il numero di [tex]p[/tex]-sottogruppi di Sylow del gruppo simmetrico [tex]S_p[/tex] di grado [tex]p[/tex] è [tex](p-2)![/tex]. Ma allora per il teorema di Sylow [tex](p-2)! \equiv 1 \mod p[/tex] da cui moltiplicando per [tex]p-1[/tex] otteniamo [tex](p-1)! \equiv -1 \mod p[/tex].

[ludovico1987]

Grazie a entrambi, per vict85 ho una domanda.Sai dirmi quando nasce la teoria dei gruppi? io pensavo nel 1770 con i trattati di lagrange (quelli sulle risoluzioni delle equazioni algebriche) e il teorema è stato dimostrato sempre da lui nel 73.Sai dirmi qualcosa? grazie in anticipo

[vict85]

Tradizionalmente si ritiene che i gruppi siano una invenzione di Galois. Lui ha senza dubbio dato il nome. La teoria dei gruppi di permutazione è stata già studiata prima seppur in altra forma. La teoria dei gruppi nella forma attuale ha però preso forma alla fine dell'800 e inizio '900. La teoria si è inoltre enormemente sviluppata durante lo scorso secolo.