Dimostrazione teorema degli zeri di Hilbert

[menale1]

Cari ragazzi,

nel corso di Algebra Superiore è stato presentato il "Teorema degli zeri di Hilbert" nel seguente enunciato:

Sia $ mathbb(K) $ algebricamente chiuso, allora $ J(V(I))= rad(I) $ $ AA I $ ideale. Inoltre se $ I $ è primo, $ J(V(I))= I $ .

Il docente del corso ha parlato anche di una dimostrazione che sfrutta "sviluppi in serie di Taylor", senza però né chiarirne gli aspetti né fornirne riferimenti. Preso dalla curiosità, ho provato a cercare qualcosa in rete e su testi in biblioteca, ma non sono riuscito a cavarne un ragno dal buco.

Attendo vostri suggerimenti,
MM

[j18eos]

Più che altro, c'è una dimostrazione che utilizza le serie di potenze formali; prova a consultare le note del prof. Manetti.

In alternativa, domani pubblico qualche altro riferimento!

P.S.: \(\displaystyle I\) ideale di chi?

[menale1]

"j18eos":prova a consultare le note del prof. Manetti.

Ti riferisci a questo http://www1.mat.uniroma1.it/people/mane ... stella.pdf ?

"j18eos":

P.S.: \( \displaystyle I \) ideale di chi?

Ideale dell'anello dei polinomi a coefficienti in $ mathbb(K) $ nelle indeterminate $ x_1,..., x_n $ .

[j18eos]

No, intendo queste dispense del prof. Manetti!

Ok: la versione semplice!

[menale1]

"j18eos":No, intendo queste dispense del prof. Manetti!

Ok, non ne avevo trovato ad una prima ricerca.

Ho notato che nelle dispense che ti ho precedentemente linkato ne viene fatta una dimostrazione completamente esente da argomenti "avanzati" di teoria degli anelli, non si parla nemmeno di noetherianità. Per leggere quelle note è sufficiente aver seguito il corso di Algebra 0, pagando il pegno di un'argomentazione "prolungata" per il fine dimostrativo del teorema.

Dunque di "sviluppi in serie di Taylor" per la dimostrazione del teorema di Hilbert non ne hai mai sentito parlare?

[j18eos]

Nelle dispense che ti ho segnalato io, ti parlo del teorema 4.5.3 a pagina 72; ma non conosco una dimostrazione che utilizzi la serie di Taylor pura...

[menale1]

"j18eos":Nelle dispense che ti ho segnalato io, ti parlo del teorema 4.5.3 a pagina 72;

Ho letto queste note e l'utilizzo delle serie formali di potenze avviene nella dimostrazione della forma forte del teorema che tra gli strumenti dimostrativi utilizza anche la forma debole a me sconosciuta dacché al corso di Algebra Superiore è stato presentato il teorema degli zeri di Hilbert nella forma che ho citato all'inizio della discussione.

"j18eos":ma non conosco una dimostrazione che utilizzi la serie di Taylor pura

Mi pongo in attesa di smentite definitive oppure di conferme inaspettate.

Ad ogni modo, ti ringrazio per il riferimento che mi ha fornito che permette una visualizzazione geometrica di tante cose viste nella loro sola sfumatura algebrica al corso.

[j18eos]

Sono curioso anch'io...