Dimostrazione sull'unione dell'insieme delle parti

[matematicus95]

devo dimostrare che non vale la seguente relazione: $P(S uu T)subeP(S)uuP(T)$ e non voglio farlo solo attraverso a un controesempio, quindi prendo $X in P(SuuT)$ allora $XsubeSuuT$ da qui come arrivo alla conclusione che non vale la relazione?

[Gi81]

se esiste $x in S \setminus T$ e $y in T \setminus S$ , la relazione $ccP ( S uu T) sube ccP (S) uu ccP (T)$ non vale.
Infatti, prendiamo $W= {x,y}$. Certamente $W sube S uu T$, dunque $W in ccP (S uu T)$.
Però...

[matematicus95]

Però W non è contenuto ne in P(S) né in P(T) ?

[Gi81]

Esatto. Non può essere $W sube S$ perchè c'è $y$, e non può essere $W sube T$ perchè c'è $x$.

[vict85]

Di fatto puoi farlo dimostrando la relazione corretta: \(\displaystyle \mathscr{P}(S\cup T) \supseteq \mathscr{P}(S)\cup\mathscr{P}(T) \) e vale l'uguaglianza se e solo se \(\displaystyle S\subseteq T \) oppure \(\displaystyle T\subseteq S \). Seppur nel caso infinito possano avere la stessa cardinalità con ipotesi molto più blande.