Dimostrazione sulle sigme-algebre
Dato $Omega$ numerabile, non so come dimostrare che $P(Omega)$ è una $sigma$-algebra...
Risposte
Con $P(\Omega)$ intendi l'insieme delle parti ? Sembra facile, devi verificare uno a uno gli assiomi che definiscono una $\sigma$-algebra.
1) $\Omega \in P(\Omega)$
2) Se $A \in P(\Omega)$ allora il complementare $( \Omega - A) \in P(\Omega)$
3) $P(\Omega)$ è stabile per unioni numerabili. Cioè se ${A_i}$ è una famiglia numerabile di elementi di $P(\Omega)$ allora $\bigcup A_i \in P(\Omega)$
Mi sembrano tutti e tre abbastanza ovvi no?
1) $\Omega \in P(\Omega)$
2) Se $A \in P(\Omega)$ allora il complementare $( \Omega - A) \in P(\Omega)$
3) $P(\Omega)$ è stabile per unioni numerabili. Cioè se ${A_i}$ è una famiglia numerabile di elementi di $P(\Omega)$ allora $\bigcup A_i \in P(\Omega)$
Mi sembrano tutti e tre abbastanza ovvi no?
Non sembrano troppo semplici a me...
Sì, con $P(Omega)$ si intende l'insieme delle parti di $Omega$. Allora:
1)Il primo punto mi sembra ovvio;
2)La differenza di insiemi numerabili è ancora numerabile? Per numerabile intendo che sia finito o sia equipotente ad $N$;
3)L'unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile? Ovviamente gli elementi dell'unione apparterranno a $Omega$, ma non so esprimerlo formalmente..
Mi faccio tutte queste domande sulla numerabilità perchè so che qualsiasi sottoinsieme di un insieme numerabile è numerabile...e dunque essendo $P(Omega)$ l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di $Omega$, è una collezione (non numerabile per il teorema di Cantor) di insiemi numerabili o no?
Sì, con $P(Omega)$ si intende l'insieme delle parti di $Omega$. Allora:
1)Il primo punto mi sembra ovvio;
2)La differenza di insiemi numerabili è ancora numerabile? Per numerabile intendo che sia finito o sia equipotente ad $N$;
3)L'unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile? Ovviamente gli elementi dell'unione apparterranno a $Omega$, ma non so esprimerlo formalmente..
Mi faccio tutte queste domande sulla numerabilità perchè so che qualsiasi sottoinsieme di un insieme numerabile è numerabile...e dunque essendo $P(Omega)$ l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di $Omega$, è una collezione (non numerabile per il teorema di Cantor) di insiemi numerabili o no?
Ops...credo di essermi risposta da sola per il secondo punto:
In effetti $Omega-A$ è un sottoinsieme di $Omega$ e dunque, essendo un sottoinsieme di un insieme numerabile, è numerabile e contiene elementi di $Omega$...
Per il 3° punto vorrei conferma...
"carezzina":
2)La differenza di insiemi numerabili è ancora numerabile? Per numerabile intendo che sia finito o sia equipotente
In effetti $Omega-A$ è un sottoinsieme di $Omega$ e dunque, essendo un sottoinsieme di un insieme numerabile, è numerabile e contiene elementi di $Omega$...
Per il 3° punto vorrei conferma...
Come hai detto tu: i sottoinsiemi di un insieme numerabile sono numerabili. Bene, se tu fai delle operazioni insiemistiche qualsiasi con le parti di $\Omega$ ottieni altre parti di $\Omega$ che sono ovviamente numerabili perchè $\Omega$ lo è. Ma non è questo il punto, ci basta che le unioni e i complementi siano ancora parti di $\Omega$ (ma questo è ovvio xD). Per dire, se al posto di $\Omega$ ci mettevi un insieme qualsiasi anche non numerabile, l'insieme delle parti era una sigma algebra lo stesso. Anzi se devo dirla tutta, in generale l'insieme delle parti è un algebra booleana completa... 
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