Dimostrazione sulle funzioni
Buongiorno, avrei un facile esercizio da svolgere, e ne vorrei approfittare anche per capire come si fanno le dimostrazioni in algebra.
Devo dimostrare che per ogni funzione $f: A->B$:
1) Per ogni $A' sube A$ si ha $ A' sube f^-1(f(A'))$
2) Per ogni $B' sube B$ si ha $f(f^-1(B')) sube B'$.
Parto dalla prima. Siccome devo dimostrare che $A'$ è un sottoinsieme, io prenderei un $a' in A'$ e, con una serie di implicazioni, farei vedere che sta pure nell'altro insieme. Quindi: $a' in A' => f(a') in f(A') sube B => f^-1(f(a')) in A'$. La prima implicazione viene dalla def di funzione, dove se $A$ è il dominio ogni elemento di $a$ deve essere associato a un elemento di $B$, quindi necessariamente esiste l'immagine di $a'$. La seconda implicazione discende dalla definizione di controimmagine di un elemento.
Dimostro la 2). Considero $B' sube B$ tale che $f^-1(B') = A$ (non so se la funzione è suriettiva e quindi mi limito a considerare l'insieme delle immagini $B'$. Ora $f(A) = f(f^-1(B')) sube B$ per definizione di codominio, e questo mi sembra sufficiente per concludere la dimostrazione.
Sono corrette queste due dimostrazioni?
Devo dimostrare che per ogni funzione $f: A->B$:
1) Per ogni $A' sube A$ si ha $ A' sube f^-1(f(A'))$
2) Per ogni $B' sube B$ si ha $f(f^-1(B')) sube B'$.
Parto dalla prima. Siccome devo dimostrare che $A'$ è un sottoinsieme, io prenderei un $a' in A'$ e, con una serie di implicazioni, farei vedere che sta pure nell'altro insieme. Quindi: $a' in A' => f(a') in f(A') sube B => f^-1(f(a')) in A'$. La prima implicazione viene dalla def di funzione, dove se $A$ è il dominio ogni elemento di $a$ deve essere associato a un elemento di $B$, quindi necessariamente esiste l'immagine di $a'$. La seconda implicazione discende dalla definizione di controimmagine di un elemento.
Dimostro la 2). Considero $B' sube B$ tale che $f^-1(B') = A$ (non so se la funzione è suriettiva e quindi mi limito a considerare l'insieme delle immagini $B'$. Ora $f(A) = f(f^-1(B')) sube B$ per definizione di codominio, e questo mi sembra sufficiente per concludere la dimostrazione.
Sono corrette queste due dimostrazioni?
Risposte
"HowardRoark":
$f(a') in B => f^-1(f(a')) in A'$.
Attento, questa implicazione è falsa. La chiave e’ che $f(a’)$ sta in $f(A’)$, e non solo in $B$.
"HowardRoark":Che domanda strana... non si fanno certo tutte nello stesso modo, e l'algebra è vasta. Questa è semmai "l'algebra della teoria elementare delle funzioni". Un frammento minuscolo de "l'algebra".
vorrei approfittare anche per capire come si fanno le dimostrazioni in algebra.
devo dimostrare che $A'$ è un sottoinsiemenon devi, è la tua ipotesi. La tesi, invece,
discende dalla definizione di controimmagine di un elemento.
Dimostro la 2). Considero $B' sube B$ tale che $f^-1(B') = A$ (non so se la funzione è suriettiva e quindi mi limito a considerare l'insieme delle immagini $B'$.Non serve (e hai dimenticato un apice nell'enunciato: \(f(f^{-1}B')\subseteq B'\), non di $B$, il che sarebbe una ovvietà che non necessita di dimostrazione). Invece, è più semplice e immediato ragionare così: se \(b'\in B'\), considera \(f(f^{-1}B')=\{f(s)\mid s\in f^{-1}B'\}=\{f(s)\mid f(s)\in B'\}\): questo è evidentemente un sottoinsieme di \(B'\).
Alcuni commenti collaterali.
1. La maniera in cui io menziono questo fatto quando insegno è questa: ogni funzione \(f : A\to B\) induce una coppia di funzioni monotòne \[f_* : 2^B \rightleftarrows 2^A : f^{-1}\] con la proprietà che \(f_*(U)\subseteq V\iff U\subseteq f^{-1}V\), da cui le inclusioni che devi dimostrare discendono come corollario (sono, in realtà, equivalenti). \(f_*\) è la funzione "immagine" che tu chiami $f$ (il che è innocuo: stai estendendo $f$ ad agire su sottoinsiemi arbitrari, invece che su elementi; nota anche che \(f_*\left(\bigcup_{i\in I}U_i\right)=\bigcup_{i\in I}f_*U_i\) quindi \(f_*\) è univocamente determinata da come $f$ agisce sui singoletti.
2. Dimostra questo fatto che ho appena detto, e in più anche le "identità di Galois", \[\forall X\subseteq A.f(f^{-1}(f X)) = fX\qquad\qquad \forall Y\subseteq B. f^{-1}(f(f^{-1}Y)) = f^{-1}Y.\]
3. La maniera migliore di ricordarsi questo enunciato senza confondersi (...in quale ordine comporre \(f,f^{-1}\) induce quale inclusione?) è questa: pensa al caso in cui \(f : V\to W\) è una funzione lineare tra due spazi vettoriali. Chiaramente, \(f^{-1}f(0) = \ker f\) è in generale più grande di \(\{0\}\), quindi in generale \(f^{-1}fX\supseteq X\). Dualmente, \(ff^{-1}Y\subseteq Y\).
"megas_archon":
non devi, è la tua ipotesi.
Volevo dire che la tesi da dimostrare era questa: $A' sube f^-1f(A'))$
"megas_archon":grazie per avermelo fatto notare, ora correggo.
Non serve (e hai dimenticato un apice nell'enunciato: \(f(f^{-1}B')\subseteq B'\), non di $B$, il che sarebbe una ovvietà che non necessita di dimostrazione).
"megas_archon":
Invece, è più semplice e immediato ragionare così: se \(b'\in B'\), considera \(f(f^{-1}B')=\{f(s)\mid s\in f^{-1}B'\}=\{f(s)\mid f(s)\in B'\}\): questo è evidentemente un sottoinsieme di \(B'\).
Quindi tu consideri un solo elemento $s in f^-1(B')$ con l'ipotesi che $b' in B'$, e quindi se $s in f^-1(B')$ allora $f(s) in B'$.
"hydro":
[quote="HowardRoark"] $f(a') in B => f^-1(f(a')) in A'$.
Attento, questa implicazione è falsa. La chiave e’ che $f(a’)$ sta in $f(A’)$, e non solo in $B$.[/quote]
Se $f(a') in B =>f^-1(f(a')) in A$ e non necessariamente in $A'$. Però siccome come giustamente mi fai notare $f(a') in f(A') sube B$ allora $f^-1(f(a')) in A'$, e questo è per def di controimmagine.
Così dovrebbe andare, grazie mille per avermelo fatto notare!
[/quote] Allora, quando correggi anche il fatto che \(a'\in A'\Rightarrow f(a')\in fA'\), è giusto [o almeno, si capisce cosa vuoi dire]."HowardRoark":
[quote="megas_archon"]
non devi, è la tua ipotesi.
Volevo dire che la tesi da dimostrare era questa: $A' sube f^-1f(A'))$
Comunque ora che ci penso questa dimostrazione: data $f: A->B$, dimostra che per ogni $B' sube B$ si ha $f(f^-1(B')) sube B'$, serviva più che altro a farmi applicare le definizioni senza fare troppe altre considerazioni, e forse è proprio questo il metodo che devo acquisire. In questo caso:
$f^-1(B')$: insieme controimmagine di $B'$, che per definizione è ${a in A | f(a) in B'}$, quindi la mia espressione diventa $f({a in A | f(a) in B'})$, e questo è ovvio che sia un sottoinsieme di $B'$.Ci si potrebbe chiedere se coincida con $B'$ ma questo non è vero perché potrebbero esserci dei $b'inB'$ che non sono raggiunti da alcun $a in A$.
$f^-1(B')$: insieme controimmagine di $B'$, che per definizione è ${a in A | f(a) in B'}$, quindi la mia espressione diventa $f({a in A | f(a) in B'})$, e questo è ovvio che sia un sottoinsieme di $B'$.Ci si potrebbe chiedere se coincida con $B'$ ma questo non è vero perché potrebbero esserci dei $b'inB'$ che non sono raggiunti da alcun $a in A$.
Per 1), devi dimostrare che vale l'implicazione: $a\in A' \Rightarrow a'\in f^\leftarrow(f(A'))$. Per definizione di contro-immagine di un sottoinsieme del codominio, si ha: \[f^\leftarrow(f(A')):=\{c\in A\mid f(c)\in f(A')\}=\{c\in A\mid f(c)=f(d), \text{ per qualche }d\in A')\}\]Ora, se $a\in A'\subseteq A$, allora $a\in f^\leftarrow(f(A'))$, perché certamente $f(a)=f(d)$ per $d=a$.
Per 2), invece, per definizione di immagine di un sottoinsieme del dominio, si ha: \[f(f^\leftarrow(B')):=\{f(e)\mid e\in f^\leftarrow(B')\}=\{f(e)\mid f(e)\in B'\}=f(A)\cap B'\subseteq B'\]
Per 2), invece, per definizione di immagine di un sottoinsieme del dominio, si ha: \[f(f^\leftarrow(B')):=\{f(e)\mid e\in f^\leftarrow(B')\}=\{f(e)\mid f(e)\in B'\}=f(A)\cap B'\subseteq B'\]
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