Dimostrazione sulla cardinalità: quale è lo sbaglio?
I miei saluti, poco tempo fa ho ricevuto come compito per casa quello di dimostrare che la cardinalità dell'insieme aperto $(0,1)$ è uguale a quella dell'intervallo chiuso $[0,1]$.
io ho proceduto nel seguente modo:
considero una successione infinitesima $\epsilon_n$ e l'intervallo chiuso $[0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n]$ incapsulato in $(0,1)$.
Posso mettere in corrispondenza biunivoca $[0,1]$ con l'intervallo chiuso suddetto tramite l'equazione di una retta e ciò lo posso fare per ogni $\epsilon_n$ con $\lim_{n \to \infty}\epsilon_n$. Dato che posso trovare una corrispondenza biunivoca per ogni $\epsilon_n$ tra gli intervalli chiudi $[0+\epsilon_n , 1- \epsilon_n]$ e $[0,1]$ e che $[0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n]$ per n che tende a infinito corrisponde a
$(0,1)$ allora posso dire che $(0,1)$ e $[0,1]$ hanno la stessa cardinalità.
Il professore ha bonariamente detto che con questa dimostrazione io ho barato e mi ha fatto vedere la vera dimostrazione.
La mia domanda sulla quale mi sto arrovellando è: perché il mio procedimento è sbagliato? quale è l'idea sbagliata dietro il mio ragionamento?
Grazie.
io ho proceduto nel seguente modo:
considero una successione infinitesima $\epsilon_n$ e l'intervallo chiuso $[0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n]$ incapsulato in $(0,1)$.
Posso mettere in corrispondenza biunivoca $[0,1]$ con l'intervallo chiuso suddetto tramite l'equazione di una retta e ciò lo posso fare per ogni $\epsilon_n$ con $\lim_{n \to \infty}\epsilon_n$. Dato che posso trovare una corrispondenza biunivoca per ogni $\epsilon_n$ tra gli intervalli chiudi $[0+\epsilon_n , 1- \epsilon_n]$ e $[0,1]$ e che $[0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n]$ per n che tende a infinito corrisponde a
$(0,1)$ allora posso dire che $(0,1)$ e $[0,1]$ hanno la stessa cardinalità.
Il professore ha bonariamente detto che con questa dimostrazione io ho barato e mi ha fatto vedere la vera dimostrazione.
La mia domanda sulla quale mi sto arrovellando è: perché il mio procedimento è sbagliato? quale è l'idea sbagliata dietro il mio ragionamento?
Grazie.
Risposte
Il tuo è un ragionamento "ad intuito" e in ultima analisi non è una dimostrazione. Perché lo diventi devi chiarire come si costruisce una biiezione [tex](0,1) \to [0,1][/tex] a partire dalle tue considerazioni. Dove mandi un generico [tex]x \in (0,1)[/tex]? Se non la vuoi esibire, devi almeno dimostrare che esiste.
se specifico che la biezione $f: [0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n] \to [0,1]$ è $y=-(1/(1-2*\epsilon_n))*x + (1-3*\epsilon_n)/(1-2*\epsilon_n)$ la dimostrazione diventa valida?
"LelleL":No. Non è questa la biiezione che devi specificare. La biiezione che devi specificare è quella [tex](0,1) \to [0,1][/tex].
se specifico che la biezione $f: [0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n] \to [0,1]$ è $y=-(1/(1-2*\epsilon_n))*x + (1-3*\epsilon_n)/(1-2*\epsilon_n)$ la dimostrazione diventa valida?
Molto carino come esercizio.
Anche perchè, se hai studiato Analisi I, sai che la tua biiezione non può essere troppo "banale"...
Io ne ho costruito una carina, ma complicata... Però è probabile che ci sia una risposta più semplice.
Ad ogni modo, credo sia meglio (per ragioni di simmetria e comodità di ragionamento) se cerchi una biiezione tra [tex]$]-1,1[$[/tex] e [tex]$[-1,1]$[/tex]: infatti, se trovi tale biiezione, riesci facilmente a trovare quella di [tex]$]0,1[$[/tex] in [tex]$[0,1]$[/tex] (basta traslare e riscalare).
Anche perchè, se hai studiato Analisi I, sai che la tua biiezione non può essere troppo "banale"...
Io ne ho costruito una carina, ma complicata... Però è probabile che ci sia una risposta più semplice.
Ad ogni modo, credo sia meglio (per ragioni di simmetria e comodità di ragionamento) se cerchi una biiezione tra [tex]$]-1,1[$[/tex] e [tex]$[-1,1]$[/tex]: infatti, se trovi tale biiezione, riesci facilmente a trovare quella di [tex]$]0,1[$[/tex] in [tex]$[0,1]$[/tex] (basta traslare e riscalare).
"Martino":No. Non è questa la biiezione che devi specificare. La biiezione che devi specificare è quella [tex](0,1) \to [0,1][/tex].[/quote]
[quote="LelleL"]se specifico che la biezione $f: [0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n] \to [0,1]$ è $y=-(1/(1-2*\epsilon_n))*x + (1-3*\epsilon_n)/(1-2*\epsilon_n)$ la dimostrazione diventa valida?
se pongo $f: lim_{n \to \infty}[0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n] \to [0,1]$ e la funzione quella detta sopra? mi ci sto avvicinando? o sbaglio nel dire che il limite dell'intervallo $[0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n]=(0,1)$ ?
Che cosa significherebbe dire "limite dell'intervallo"?
ho scritto male, quello che volevo dire è che $[0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n]$ coincide con $(0,1)$ per $lim_{n \to \infty}\epsilon_n$
"LelleL":Non capisco cosa vuoi dire. Vuoi costruire una biiezione [tex](0,1) \to [0,1][/tex] (o [tex][0,1] \to (0,1)[/tex], la sua inversa). Per fare questo devi dire dove va a finire un generico [tex]x \in (0,1)[/tex]. Certamente [tex]x[/tex] apparterra' a un sottoinsieme della forma [tex][0+\epsilon_n,1-\epsilon_n][/tex], ma mandarlo nell'elemento in cui viene mandato tramite la biiezione [tex][0+\epsilon_n,1-\epsilon_n] \to [0,1][/tex] non va bene perche' la funzione che ottieni non e' ben definita (in altre parole, l'immagine di [tex]x[/tex] dipende dal particolare intervallo [tex][0+\epsilon_n,1-\epsilon_n][/tex] che prendi contenente [tex]x[/tex]).
se pongo $f: lim_{n \to \infty}[0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n] \to [0,1]$ e la funzione quella detta sopra? mi ci sto avvicinando? o sbaglio nel dire che il limite dell'intervallo $[0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n]=(0,1)$ ?
"Martino":
Non capisco cosa vuoi dire. Vuoi costruire una biiezione [tex](0,1) \to [0,1][/tex] (o [tex][0,1] \to (0,1)[/tex], la sua inversa). Per fare questo devi dire dove va a finire un generico [tex]x \in (0,1)[/tex]. Certamente [tex]x[/tex] apparterra' a un sottoinsieme della forma [tex][0+\epsilon_n,1-\epsilon_n][/tex], ma mandarlo nell'elemento in cui viene mandato tramite la biiezione [tex][0+\epsilon_n,1-\epsilon_n] \to [0,1][/tex] non va bene perche' la funzione che ottieni non e' ben definita (in altre parole, l'immagine di [tex]x[/tex] dipende dal particolare intervallo [tex][0+\epsilon_n,1-\epsilon_n][/tex] che prendi contenente [tex]x[/tex]).
Ok, comincio a capire quale è lo sbaglio di tutta la mia idea
Sperando di non esasperare nessuno con questo ulteriore intervento 
precedo con il dire:
$\epsilon_n$ è una successione infinitesima
Se definisco la biezione f così
$f=lim_{n \to \infty}f_n$ con $f_n: [0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n] \to [0,1]$ e $f_n=(-1/(1-2*\epsilon_n))*x+((1-3*\epsilon_n)/(1-2*\epsilon_n))$ che dite?
precedo con il dire:$\epsilon_n$ è una successione infinitesima
Se definisco la biezione f così
$f=lim_{n \to \infty}f_n$ con $f_n: [0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n] \to [0,1]$ e $f_n=(-1/(1-2*\epsilon_n))*x+((1-3*\epsilon_n)/(1-2*\epsilon_n))$ che dite?
Fissato [tex]$x$[/tex], mandiamo [tex]$n\to +\infty$[/tex]: allora [tex]$f_n(x)\to 1-x=:f(x)$[/tex] e non mi pare che tale funzione abbia le proprietà richieste.
Te l'ho detto, la tua [tex]$f(x)$[/tex] deve essere un po' "strana"; anzi, se hai studiato Analisi I dovresti sapere anche perchè e "come" deve essere strana.
Te l'ho detto, la tua [tex]$f(x)$[/tex] deve essere un po' "strana"; anzi, se hai studiato Analisi I dovresti sapere anche perchè e "come" deve essere strana.
boh 
ho sempre fatto schifo quando si trattava di trovare esempi di funzioni che avessero delle proprietà richieste.
Se mi dai tu un esempio? io c'ho pensato ma non mi viene
ho sempre fatto schifo quando si trattava di trovare esempi di funzioni che avessero delle proprietà richieste.Se mi dai tu un esempio? io c'ho pensato ma non mi viene
Vedi cosa riesci a fare per la biiezione [tex]$]-1,1[\to [-1,1]$[/tex] usando un blocco del genere:
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=-1;ymax=1;
axes(0.5,0.5,"labels");
stroke="blue"; line([-1,-1],[1,-1]); line([1,1],[-1,1]);
stroke="cyan"; line([-1,-1],[-1,1]); line([1,-1],[1,1]);
stroke="red";
dot([0,0]); dot([-0.5,-1]); dot([0.5,1]);
line([-0.5,-1],[-1,-0.5]); line([0.5,1],[1,0.5]);
stroke="lightgrey";
line([-0.5,-1],[-0.5,1]); line([-1,-0.5],[1,-0.5]); line([0.5,-1],[0.5,1]); line([-1,0.5],[1,0.5]);[/asvg]
(In blu i lati del quadrato che si possono toccare con il grafico; in azzurro i lati del quadrato che non devono essere toccati; in rosso pezzi di grafico della funzione -i punti rappresentano valori presi in punti particolari-).
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=-1;ymax=1;
axes(0.5,0.5,"labels");
stroke="blue"; line([-1,-1],[1,-1]); line([1,1],[-1,1]);
stroke="cyan"; line([-1,-1],[-1,1]); line([1,-1],[1,1]);
stroke="red";
dot([0,0]); dot([-0.5,-1]); dot([0.5,1]);
line([-0.5,-1],[-1,-0.5]); line([0.5,1],[1,0.5]);
stroke="lightgrey";
line([-0.5,-1],[-0.5,1]); line([-1,-0.5],[1,-0.5]); line([0.5,-1],[0.5,1]); line([-1,0.5],[1,0.5]);[/asvg]
(In blu i lati del quadrato che si possono toccare con il grafico; in azzurro i lati del quadrato che non devono essere toccati; in rosso pezzi di grafico della funzione -i punti rappresentano valori presi in punti particolari-).
"gugo82":
Vedi cosa riesci a fare per la biiezione [tex]$]-1,1[\to [-1,1]$[/tex] usando un blocco del genere:
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=-1;ymax=1;
axes(0.5,0.5,"labels");
stroke="blue"; line([-1,-1],[1,-1]); line([1,1],[-1,1]);
stroke="cyan"; line([-1,-1],[-1,1]); line([1,-1],[1,1]);
stroke="red";
dot([0,0]); dot([-0.5,-1]); dot([0.5,1]);
line([-0.5,-1],[-1,-0.5]); line([0.5,1],[1,0.5]);
stroke="lightgrey";
line([-0.5,-1],[-0.5,1]); line([-1,-0.5],[1,-0.5]); line([0.5,-1],[0.5,1]); line([-1,0.5],[1,0.5]);[/asvg]
(In blu i lati del quadrato che si possono toccare con il grafico; in azzurro i lati del quadrato che non devono essere toccati; in rosso pezzi di grafico della funzione -i punti rappresentano valori presi in punti particolari-).
Iterando il blocco via via nel quadrato più piccolo che si forma centralmente si ottiene una figura simile:
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=-1;ymax=1;
axes(0.5,0.5,"labels");
stroke="blue"; line([-1,-1],[1,-1]); line([1,1],[-1,1]);
stroke="cyan"; line([-1,-1],[-1,1]); line([1,-1],[1,1]);
stroke="red"; dot([0,0]);
dot([-0.5,-1]); dot([0.5,1]); line([-0.5,-1],[-1,-0.5]); line([0.5,1],[1,0.5]);
dot([-0.25,-0.5]); dot([0.25,0.5]); line([-0.25,-0.5],[-0.5,-0.25]); line([0.25,0.5],[0.5,0.25]);
dot([-0.125,-0.25]); dot([0.125,0.25]); line([-0.125,-0.25],[-0.25,-0.125]); line([0.125,0.25],[0.25,0.125]);
dot([-0.0625,-0.125]); dot([0.0625,0.125]); line([-0.0625,-0.125],[-0.125,-0.0625]); line([0.0625,0.125],[0.125,0.0625]);
dot([-0.03125,-0.0625]); dot([0.03125,0.0625]); line([-0.03125,-0.0625],[-0.0625,-0.03125]); line([0.03125,0.0625],[0.0625,0.03125]);
stroke="lightgrey";
line([-0.5,-1],[-0.5,1]); line([-1,-0.5],[1,-0.5]); line([0.5,-1],[0.5,1]); line([-1,0.5],[1,0.5]);
line([-0.25,-0.5],[-0.25,0.5]); line([-0.5,-0.25],[0.5,-0.25]); line([0.25,-0.5],[0.25,0.5]); line([-0.5,0.25],[0.5,0.25]);
line([-0.125,-0.25],[-0.125,0.25]); line([-0.25,-0.125],[0.25,-0.125]); line([0.125,-0.25],[0.125,0.25]); line([-0.25,0.125],[0.25,0.125]);
line([-0.0625,-0.125],[-0.0625,0.125]); line([-0.125,-0.0625],[0.125,-0.0625]); line([0.0625,-0.125],[0.0625,0.125]); line([-0.125,0.0625],[0.125,0.0625]);[/asvg]
e graficamente è evidente che la funzione con il grafico in rosso è una biiezione di [tex]$]-1,1[$[/tex] in [tex]$[-1,1]$[/tex].
La dimostrazione è alrettanto semplice.
Tuttavia da altre parti questa costruzione è stata accusata di essere "rudimentale" e "grossolana" (da un tizio che si occupa di Algebra... Si vede che gli algebristi non sono abituati a prendere a martellate le cose per farle entrare dove vogliono loro*), quindi ne propongo una più semplice: in questo caso prendo per semplicità gli intervalli [tex]$]0,1[$[/tex] e [tex]$[0,1]$[/tex].
Fissa una successione [tex]$(a_n) \subset ]0,1[$[/tex] con elementi distinti, definisci [tex]$f:[0,1]\to ]0,1[$[/tex] ponendo:
[tex]$f(x):=\begin{cases} a_0 &\text{, se } x=0 \\ a_1 &\text{, se } x=1 \\ a_{\nu +2} &\text{, se } x=a_\nu \text{ per qualche } \nu \in \mathbb{N} \\ x &\text{, altrimenti} \end{cases}$[/tex]
e verifica che [tex]$f(x)$[/tex] è una biiezione di [tex]$[0,1]$[/tex] in [tex]$]0,1[$[/tex].
__________
* Sarà perchè loro i buchi se li creano su misura per infilarci quello che hanno, al contrario degli Analisti.
Mi piace di più quella "grossolana" 
@gugo Ieri sera riflettevo su come deve essere la funzione da te disegnata in parte, ed ero giunto alla conclusione (per come lo scrivi tu) di prenderla a martellate, e devo dire che è una funzione molto carina. Da algebrista, non capisco la grossolanità e la rudimentalità, dato che i primi algebristi moderni; tra cui il grande Cantor, avrebbero agito come te. Infine, se non mi sbagliassi sull'autore di tale cahata: non ragioniam di lor, ma guarda e passa (Divina Commedia - Inferno, canto III, verso 51).
[OT]
Grazie j18eos.
Ad ogni modo, gradirei sentire anche l'opinione degli altri algebristi (Martino in testa) sulla questione.
P.S.: Con chi mi ha detto quelle cosette sulla mia costruzione (e che ha suggerito l'altra, spacciandola come "più elegante") c'è stato più o meno il seguente scambio:
G.: "Vero, la tua è più semplice, ma la mia è più artistica... Però non è che si può fare a meno di tutte quelle discontinuità? So che la funzione non può essere né monotona, né globalmente continua, però in linea di principio si potrebbe fare di meglio."
l'altro: "Perchè tutta questa preoccupazione per le discontinuità?"
G.: "Niente d'importante. Diciamo che è più una questione estetica che mi preoccupa... Però richiedere meno discontinuità possibili potrebbe essere visto come una richiesta di ottimalità della soluzione; in tale ottica, perchè si dovrebbe spacciare una soluzione con infinite discontinuità come la "più elegante", se sono disponibili soluzioni con proprietà analitiche migliori?".
[/OT]
Grazie j18eos.
Ad ogni modo, gradirei sentire anche l'opinione degli altri algebristi (Martino in testa) sulla questione.
P.S.: Con chi mi ha detto quelle cosette sulla mia costruzione (e che ha suggerito l'altra, spacciandola come "più elegante") c'è stato più o meno il seguente scambio:
G.: "Vero, la tua è più semplice, ma la mia è più artistica... Però non è che si può fare a meno di tutte quelle discontinuità? So che la funzione non può essere né monotona, né globalmente continua, però in linea di principio si potrebbe fare di meglio."
l'altro: "Perchè tutta questa preoccupazione per le discontinuità?"
G.: "Niente d'importante. Diciamo che è più una questione estetica che mi preoccupa... Però richiedere meno discontinuità possibili potrebbe essere visto come una richiesta di ottimalità della soluzione; in tale ottica, perchè si dovrebbe spacciare una soluzione con infinite discontinuità come la "più elegante", se sono disponibili soluzioni con proprietà analitiche migliori?".
[/OT]
Dato che può aiutare "altri" bimbi come me, espongo le idee che ho seguito (e forse anche gugo) per risolvere il problema.
Si vuole costruire una biezione [tex]$f$[/tex] tra [tex]$]0;1[$[/tex] e [tex]$[0;1]$[/tex], tale [tex]$f$[/tex] (rispetto alla topologia naturale di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] indotta su tali insiemi) non può essere continua, in quanto se lo fosse [tex]$f$[/tex] trasformerebbe i punti di taglio di [tex]$]0;1[$[/tex] in medesimi di [tex]$[0;1]$[/tex], ovvero: [tex]$f(]0;1[)=]0;1[$[/tex].
Quindi [tex]$f$[/tex] compie dei salti; nulla vieta di considerarla monotòna, ma dato che salta non resta che costruirla monotòna a tratti; facendo delle prove si ottiene che deve avere infiniti salti.
DOMANDA: Ma la funzioni proposte sono entrambe continue quasi ovunque secondo Lebesgue? Perché mi sembrano tali, ma non vorrei sbagliarmi.
OUT OF SELF Prego gugo, di nulla!
Non ho capito molto di tale "dialogo" tra gugo (G.) e l'altro!
Aggiungo come risposta al tuo sfogo: gugo, se tu avessi la voglia di discutere sui "buchi", meglio che ti rivolga ad un cosmologo\astrofico e non ad un topologo.
Si vuole costruire una biezione [tex]$f$[/tex] tra [tex]$]0;1[$[/tex] e [tex]$[0;1]$[/tex], tale [tex]$f$[/tex] (rispetto alla topologia naturale di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] indotta su tali insiemi) non può essere continua, in quanto se lo fosse [tex]$f$[/tex] trasformerebbe i punti di taglio di [tex]$]0;1[$[/tex] in medesimi di [tex]$[0;1]$[/tex], ovvero: [tex]$f(]0;1[)=]0;1[$[/tex].
Quindi [tex]$f$[/tex] compie dei salti; nulla vieta di considerarla monotòna, ma dato che salta non resta che costruirla monotòna a tratti; facendo delle prove si ottiene che deve avere infiniti salti.
DOMANDA: Ma la funzioni proposte sono entrambe continue quasi ovunque secondo Lebesgue? Perché mi sembrano tali, ma non vorrei sbagliarmi.
OUT OF SELF Prego gugo, di nulla!
Non ho capito molto di tale "dialogo" tra gugo (G.) e l'altro!
Aggiungo come risposta al tuo sfogo: gugo, se tu avessi la voglia di discutere sui "buchi", meglio che ti rivolga ad un cosmologo\astrofico e non ad un topologo.
"j18eos":
nulla vieta di considerarla monotòna
Non è vero.
Supponiamo che sia crescente; allora [tex]$\sup_{]0,1[} f=1$[/tex] ed il [tex]$\sup$[/tex] è un [tex]$\max$[/tex], perchè [tex]$1\in f(]0,1[)=[0,1]$[/tex], anzi [tex]$1$[/tex] è il massimo assoluto di [tex]$f(x)$[/tex]; ma [tex]$1$[/tex] non può essere assunto in un punto interno all'intervallo [tex]$]0,1[$[/tex], perchè altrimenti la monotonia implicherebbe che [tex]$f(x)=1$[/tex] in un intorno sinistro di [tex]$1$[/tex], contraddicendo la biiettività.
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