Dimostrazione sulla cardinalità: quale è lo sbaglio?
I miei saluti, poco tempo fa ho ricevuto come compito per casa quello di dimostrare che la cardinalità dell'insieme aperto $(0,1)$ è uguale a quella dell'intervallo chiuso $[0,1]$.
io ho proceduto nel seguente modo:
considero una successione infinitesima $\epsilon_n$ e l'intervallo chiuso $[0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n]$ incapsulato in $(0,1)$.
Posso mettere in corrispondenza biunivoca $[0,1]$ con l'intervallo chiuso suddetto tramite l'equazione di una retta e ciò lo posso fare per ogni $\epsilon_n$ con $\lim_{n \to \infty}\epsilon_n$. Dato che posso trovare una corrispondenza biunivoca per ogni $\epsilon_n$ tra gli intervalli chiudi $[0+\epsilon_n , 1- \epsilon_n]$ e $[0,1]$ e che $[0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n]$ per n che tende a infinito corrisponde a
$(0,1)$ allora posso dire che $(0,1)$ e $[0,1]$ hanno la stessa cardinalità.
Il professore ha bonariamente detto che con questa dimostrazione io ho barato e mi ha fatto vedere la vera dimostrazione.
La mia domanda sulla quale mi sto arrovellando è: perché il mio procedimento è sbagliato? quale è l'idea sbagliata dietro il mio ragionamento?
Grazie.
io ho proceduto nel seguente modo:
considero una successione infinitesima $\epsilon_n$ e l'intervallo chiuso $[0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n]$ incapsulato in $(0,1)$.
Posso mettere in corrispondenza biunivoca $[0,1]$ con l'intervallo chiuso suddetto tramite l'equazione di una retta e ciò lo posso fare per ogni $\epsilon_n$ con $\lim_{n \to \infty}\epsilon_n$. Dato che posso trovare una corrispondenza biunivoca per ogni $\epsilon_n$ tra gli intervalli chiudi $[0+\epsilon_n , 1- \epsilon_n]$ e $[0,1]$ e che $[0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n]$ per n che tende a infinito corrisponde a
$(0,1)$ allora posso dire che $(0,1)$ e $[0,1]$ hanno la stessa cardinalità.
Il professore ha bonariamente detto che con questa dimostrazione io ho barato e mi ha fatto vedere la vera dimostrazione.
La mia domanda sulla quale mi sto arrovellando è: perché il mio procedimento è sbagliato? quale è l'idea sbagliata dietro il mio ragionamento?
Grazie.
Risposte
Beh, che dire 
la soluzione col grafico non è male, rende anche molto geometricamente ed è facile da ricordare, inoltre mette in evidenza il fatto che una biiezione [tex](0,1) \to [0,1][/tex] non può essere troppo regolare... tuttavia (inutile dirlo) l'altra soluzione mi affascina di più 
... Mi sembra più "pulita", più formalizzata, più chiara. E per me queste caratteristiche ne superano altre, come l'intuibilità. Inoltre c'è da dire che la soluzione "algebrica" mi dà l'aria di essere applicabile anche in altri contesti, mentre quella "analitica" mi sembra fatta troppo 'ad hoc' per questo caso. Mi piacciono i ragionamenti generalizzabili.
la soluzione col grafico non è male, rende anche molto geometricamente ed è facile da ricordare, inoltre mette in evidenza il fatto che una biiezione [tex](0,1) \to [0,1][/tex] non può essere troppo regolare... tuttavia (inutile dirlo) l'altra soluzione mi affascina di più ... Mi sembra più "pulita", più formalizzata, più chiara. E per me queste caratteristiche ne superano altre, come l'intuibilità. Inoltre c'è da dire che la soluzione "algebrica" mi dà l'aria di essere applicabile anche in altri contesti, mentre quella "analitica" mi sembra fatta troppo 'ad hoc' per questo caso. Mi piacciono i ragionamenti generalizzabili.
"juggos":
Potrebbe esserti utile il mio blog con la parte dedicata all'insiemistica.
Sinceramente non vedo come...
Sono uno studente delle superiori, e perdonate la mia ignoranza. Ma io non riesco a capire come sia possibile creare una corrispondenza biunivoca fra questo insieme [0, 1] e una successione infinitesima costituita da infiniti elementi.
Qualcuno mi illumini!
Qualcuno mi illumini!
Infatti non è possibile.
La cardinalità di [tex]$[0,1]$[/tex] è strettamente più grande della cardinalità di qualsiasi successione; detto rozzamente, in [tex]$[0,1]$[/tex] ci sono infiniti elementi, ma sono "più infiniti" di quelli di qualsiasi successione.
La cardinalità di [tex]$[0,1]$[/tex] è strettamente più grande della cardinalità di qualsiasi successione; detto rozzamente, in [tex]$[0,1]$[/tex] ci sono infiniti elementi, ma sono "più infiniti" di quelli di qualsiasi successione.
Anch'io ho questo problema ma poi ho pensato all'insieme di Cantor; i vari intervalli che diventano sempre più piccoli sono chiusi quindi è chiuso anche l'insieme di Cantor che ha la potenza del continuo, quindi anche gli intervalli chiusi hanno la potenza del continuo come gli intervalli aperti. Per favore, dato che rimango un po' confuso, potete postare una dimostrazione esatta? 
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