Dimostrazione sul binomiale

[serway2]

Sia m un intero strettamente positivo, sia p un numero primo che non divide m. Allora per ogni n>0, p non divide il binomiale $((p^n m),(p^n))$

Mi sapreste dire come dimostrarlo?

[dissonance]

Prova prima con $n=1$. Il binomiale si può espandere come

$((p m)!)/(p!(p m-p)!)=frac{[p(m-1)+1]...[p m-1]}{(p-1)!}$ (EDIT: Attenzione a questa formula che potrebbe contenere altri strafalcioni oltre a quello già osservato da Rggb.)

e $p$ non divide il numeratore che è il prodotto di tutti i numeri interi compresi strettamente tra $p(m-1)$ e $p m$. Quindi $p$ non divide $((p m), (p))$.

[serway2]

il binomiale per n=1 vale
$((p m)!)/(p!(p m-p)!)=frac{m(p m-1)...(p m-(p-1))}{(p-1)!}$

Dato che p è un numero primo, se p divide il numeratore, allora p divide uno dei fattori che compare al numeratore quindi p dividerà $p m-i$ dove i varia tra 1
e p-1, quindi poichè p divide $p m$ necessariamente dovrà dividere i, ma i varia tra 1 e p-1 quindi p non divide i, dunque p non può dividere il numeratore.
Ovviamente p non può dividere il denominatore e quindi da ciò deduciamo che p non divide neanche il binomiale $((p m),(p))$.
Questo è provato per n=1, ora resta da provarlo per ogni n e quindi ragionando per induzione supposta vera la tesi per n bisogna provarla per n+1, come si ragiona in questo caso?

[Rggb1]

Forse semplicemente
$((p*m),(p))=((p*m)!)/(p!*(p*m-p)!)=((p*m)!)/(p!*(p*(m-1))!)$
Ho $m$ volte $p$ al numeratore e $m$ volte al denominatore. Idem per $n>1$

@dissonance
Come ti viene il termine $(p-m)!$ al denominatore?

[serway2]

questa è la dimostrazione che ha fatto il mio professore di algebra, però per certi versi non mi convince perchè non solo non la trovo chiara ma anche poco elegante.
http://tinypic.com/view.php?pic=2rf9088&s=7

[dissonance]

"Rggb":@dissonance
Come ti viene il termine $(p-m)!$ al denominatore?

Aaaaeeehhmm... sai... il caldo...

[serway2]

"dissonance":Prova prima con $n=1$. Il binomiale si può espandere come

$((p m)!)/(p!(p m-p)!)=frac{[p(m-1)+1]...[p m-1]}{(p-1)!}$ (EDIT: Attenzione a questa formula che potrebbe contenere altri strafalcioni oltre a quello già osservato da Rggb.)

e $p$ non divide il numeratore che è il prodotto di tutti i numeri interi compresi strettamente tra $p(m-1)$ e $p m$. Quindi $p$ non divide $((p m), (p))$.

credo di aver risolto almeno il caso in cui n=1, la dimostrazione che ho scritto sopra dovrebbe essere corretta (ovviamente qualcuno me lo dica se è sbagliata ), però il problema adesso è dimostrare l'asserto per un n generico, come faccio?
Dimostrarlo per induzione mi sembra alquanto complicato, non mi viene in mente niente per poter sfruttare opportunamente l'ipotesi induttiva, se qualcuno comunque conosce qualche sito dove è spiegata la dimostrazione me lo può pure segnalare, io ho provato a cercare su internet ma non ho trovato niente

[Rggb1]

Ma perché, il metodo che ti ho indicato non ti piace? Hai lo stesso numero di fattori $p$ sia al numeratore sia al denominatore, che si semplificano, quindi la frazione non divide $p$.

[dolce590]

In generale la potenza di p che divide mp^n-i divide anche p^n-i. quindi tutte le potenze di p che dividono la frazione si semplificano.