Dimostrazione sugli insiemi

[HowardRoark]

Siano $S$, $T$ insiemi. Dimostrare che $S sube T <=> P(S) sube P(T)$, dove $P(S)$ e $P(T)$ sono gli insiemi delle parti.

Pensavo di procedere con la "doppia freccia", dimostrando prima $=>$

$=>$) $x in S => x in S ^^ x in T => x in (S nn T) sube T =>$[nota]quest'ultima implicazione non so se vada dimostrata, a me sembra che segua dalla definizione di insieme delle parti[/nota] $P((S nn T))=P(S) sube P(T)$.
Va bene come modo di procedere?

[HowardRoark]

Forse la dimostrazione è più chiara così: $x in S => x in S ^^ x in T => {x} in P(S nn T) = P(S)$[nota]perché $S nn T = S$ per ipotesi[/nota] $sube P(T)$.
L'altra implicazione è ovvia.

[DavidGnomo1]

"HowardRoark":Siano $S$, $T$ insiemi. Dimostrare che $S sube T <=> P(S) sube P(T)$, dove $P(S)$ e $P(T)$ sono gli insiemi delle parti.

...

Va bene dimostrare le due implicazioni.
Se provi la prima dovresti fare tipo così:
Dimostro l'implicazione $\Rightarrow$
Ipotesi: $S \subseteq T$
Tesi: $P(S) \subseteq P(T)$
Sfruttare l'ipotesi nella dimostrazione della tesi.
Sia ${x} \in P(S) \Rightarrow {x} \subseteq S \Rightarrow x \in S \Rightarrow$ per ipotesi $x \in T \Rightarrow {x} \subseteq T \Rightarrow {x} \in P(T)$

EDIT: HowardRoark non leggere, ho errato

[megas_archon]

"DavidGnomo":Se provi la prima dovresti fare tipo così:
Dimostro l'implicazione $\Rightarrow$
Ipotesi: $S \subseteq T$
Tesi: $P(S) \subseteq P(T)$
Sfruttare l'ipotesi nella dimostrazione della tesi.
Sia ${x} \in P(S) \Rightarrow {x} \subseteq S \Rightarrow x \in S \Rightarrow$ per ipotesi $x \in T \Rightarrow {x} \subseteq T \Rightarrow {x} \in P(T)$

Che sciocchezza c'è scritta?! Questo è sbagliato, mica ci sono solo i singoletti in \(PS\)...

[DavidGnomo1]

"megas_archon":[quote="DavidGnomo"]
...
Che sciocchezza c'è scritta?! Questo è sbagliato, mica ci sono solo i singoletti in \(PS\)...

[/quote]

Ed hai ragione anche tu.

[megas_archon]

Ci sono due modi di risolvere questo problema.

Il primo è de-zuccherare l'enunciato nella sua forma primitiva: \((\forall x.(x\in S\to x\in T))\iff(\forall U.[\forall x.(x\in U\to x\in S)\to \forall y.(y\in U\to y\in T)])\). Del resto, \(U\subseteq S\subseteq T\), e dal fatto che la relazione d'ordine parziale \(\subseteq\) è transitiva, concludi che \(U\subseteq T\). Per contro, se \(\forall U.U\subseteq S\to U\subseteq T)\), allora è vero a fortiori per i singoletti, e adesso va bene usare che \(x\in T\iff \{x\}\subseteq T\).

Il secondo (che è più giusto) è interpretarlo così: se esiste una funzione iniettiva \(S\hookrightarrow T\), allora esiste una funzione iniettiva \(PS\hookrightarrow PT\). Senza perdita di generalità, puoi supporre che la funzione iniettiva abbia un'inversa sinistra, e a quel punto si tratta di invocare la proprietà di funtorialità di $P$.

[HowardRoark]

Alla fine la dimostrazione migliore per i miei scopi era questa:

=> $A in P(S) <=> A sube S sube T => A sube T <=> A in P(T)$

<= $x in S => {x} in P(S) sube P(T) => {x} in P(T) => x in T$.