Dimostrazione semplice coefficiente binomiale

[Smoke666]

Ciao a tutti, stavo cercando di ricavare una semplice e formale dimostrazione del seguente coefficiente binomiale:

\(\displaystyle \sum _{i=0}^n (-1)^i\binom{n}{i} \)

Procedendo per tentativi è facile vedere che il risultato è sempre 0, tuttavia non riesco a ricavarne una dimostrazione formale. Qualcuno potrebbe aiutarmi? Pensavo di procedere per induzione, ma non so se è corretto partire "dall'intuizione" che ho avuto...

Grazie in anticipo!

[Gi81]

Saprai senz'altro che vale \(\displaystyle (a+b)^n= \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} a^i b^{n-i} \), per ogni $a, b in RR$.
Sfrutta questa relazione per rispondere alla domanda.

[dan952]

Vedilo come lo sviluppo della potenza $n-esima$ del binomio $(1-1)^n=0$ comunque prova se vuoi prendere la via dell`induzione con la formula di ricorrenza dei coefficienti binomiali oppure con altre formule.

[dan952]

Scusate non avevo visto la risposta di Gi8

[Smoke666]

Dunque mi basta trovare due numeri $a,b$ tali che: $a^ib^{n-i} = (-1)^i$. Questi non possono che essere $a=1,b=-1$, dunque il binomio di Newton ci assicura che la sommatoria da 0 come risultato. Avevo provato questa strada, ma credo che non sia così robusta come dimostrazione....

[Gi81]

Perchè non sarebbe "robusta"?
PS: devi prendere $a= -1 $ e $b=1$, non viceversa.

[Smoke666]

Credevo non fosse sufficientemente valida in quanto partiva da un'ipotesi vista "ad occhio". Pensavo di dover prima dimostrare che effettivamente quella sommatoria risulta essere uguale a 0 per ogni n, e poi ricondurla al binomio. Ma mi fido di voi!