Dimostrazione Relazione di Equivalenza e proprietà

lorenzoasr1
Ciao a tutti, sono nuovo del forum, vorrei sottoporvi una dimostrazione:

Sia \(\rho \) una relazione simmetrica e transitiva su un insieme A. Si provi che \(\rho \) è una relazione di equivalenza se e solo se vale la seguente proprietà:

\(\forall a \in A \exists b \in A : a \rho b \)

Io sto ragionando così:
- divido il due parti la dimostrazione, => e <=.
- sò che una rel. d'equivalenza gode delle proprietà Riflessiva, Transitiva e Simmetrica

(=>) grazie alla proprietà R sò che per ogni elemento di A esisterà sicuramente un elemento b in relazione con a ( posto b=a) .

Per la <= non sò come fare, spero che ci sia qualcuno così gentile da aiutarmi a capire come ragionare in questi casi, grazie

Lorenzo

Risposte
Gi81
Sia \(\rho \) una relazione simmetrica e transitiva su un insieme $A$.
Si provi che \(\rho \) è una relazione di equivalenza se e solo se vale la seguente proprietà:
\(\forall a \in A \quad \exists b \in A : \quad a \ \rho \ b \qquad (*)\)

La parte $(=>)$ è corretta: dato che $rho$ è di equivalenza,
in particolare è riflessiva, dunque $AA a in A$ si ha \(a \ \rho \ a \).
Quindi vale la proprietà \(\displaystyle (*) \).

Passiamo a $(Leftarrow)$: Sappiamo che $rho$ è una relazione simmetrica e transitiva, e che vale \(\displaystyle (*) \).
Dobbiamo dimostrare che $rho$ è riflessiva, per avere così che è di equivalenza.
Sia $a in A$ generico. Per \(\displaystyle (*) \) esiste $b in A$ tale che \(a \ \rho \ b \).
Ma vale la simmetrica, dunque si ha anche \(b \ \rho \ a \).
Quindi abbiamo \(a \ \rho \ b \) e \(b \ \rho \ a \)....

lorenzoasr1
Grazie innanzitutto per la risposta !

A questo punto mi viene da dirti che per la proprietà Transitiva se a \(\rho \) b e b \(\rho \) a allora a \(\rho \) a, e così sarebbe facilmente dimostrato.

Devo dirti che questa soluzione l'avevo presa in considerazione! Sto svolgendo delle schede di esercizi, e tra questi cen'era uno che recitava:

"Si trovi l'errore nella seguente dimostrazione del fatto che la proprietà riflessiva è una conseguenza delle proprietà simmetrica e transitiva: sia a \(\rho \) b; allora per simmetria b \(\rho \) a. Per transitività, da a \(\rho \) b e b \(\rho \) a, segue che a \(\rho \) a. cioè la riflessività"

Io l'unica stranezza che ho notato, è che CREDO che la proprietà transitiva sia definita per 3 elementi distinti a,b,c , per cui mi è sembrata una forzatura applicarla in questo caso.

In conseguenza di ciò , avevo scartato a priori l'ipotesi di poter dimostrare in questo modo la <= !

Grazie ancora per l'aiuto :)

Gi81
Il problema è che non è detto a priori che $a \ rho \ b$.
Questo ce l'hai se assumi \(\displaystyle (*) \). Se non lo assumi potrebbe esserci un $a$ che non è in relazione con alcun elemento, quindi non hai $a \ rho \ b$.

lorenzoasr1
Per cui avevo preso un abbaglio nell'esercizio precedente !

Ti ringrazio ancora, a presto

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.