Dimostrazione proposizione

[marcus1121]

Per ogni insieme $A$, l'applicazione $f:P(A)->2^A$ definita da $f(Z)=T_z$, per ogni $Z in P(A)$, è biiettiva.

Per concretizzare questa proposizione mi occorre un esempio.

[Kashaman]

Cosa intendi con $T_z$ ?

[vict85]

Capisco poco la tua notazione ma conosco la funzione a cui ti riferisci quindi ti faccio un esempio.

\(\displaystyle A = \{ 1, 2 \} \)
\(\displaystyle P(A) = \{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, A \} \)

\(\displaystyle f(\emptyset) = f_{\emptyset} \)
con
\(\displaystyle f_{\emptyset}(1) = 0 \)
\(\displaystyle f_{\emptyset}(2) = 0 \)

\(\displaystyle f(\{1\}) = f_1 \)
con
\(\displaystyle f_{1}(1) = 1 \)
\(\displaystyle f_{1}(2) = 0 \)

\(\displaystyle f(\{2\}) = f_2 \)
con
\(\displaystyle f_{2}(1) = 0 \)
\(\displaystyle f_{2}(2) = 1 \)

\(\displaystyle f(A) = f_A \)
con
\(\displaystyle f_{A}(1) = 1 \)
\(\displaystyle f_{A}(2) = 1 \)

[milos144]

Sarebbe così:

per ogni insieme $A$, l'applicazione $f:P(A)->2^A$ definita da $f(S)=varphi _s$, per ogni $S in P(A)$, è biiettiva.

[marcus1121]

Vorrei capirci di più!

Partendo da

$ varphi : P(A) → 2^A$ associa ad ogni sottoinsieme $BsubeA$ l'applicazione $f: A → 2$ definita da

$f(x)={ ( 0 if x notin B ),( 1 if x in B ):}$

sono arrivato a capire il tuo esempio:

\( \displaystyle A = \{ 1, 2 \} \)
\( \displaystyle P(A) = \{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, A \} \)

\( \displaystyle f(\emptyset) = f_{\emptyset} \)
con
\( \displaystyle f_{\emptyset}(1) = 0 \)
\( \displaystyle f_{\emptyset}(2) = 0 \)

\( \displaystyle f(\{1\}) = f_1 \)
con
\( \displaystyle f_{1}(1) = 1 \)
\( \displaystyle f_{1}(2) = 0 \)

\( \displaystyle f(\{2\}) = f_2 \)
con
\( \displaystyle f_{2}(1) = 0 \)
\( \displaystyle f_{2}(2) = 1 \)

\( \displaystyle f(A) = f_A \)
con
\( \displaystyle f_{A}(1) = 1 \)
\( \displaystyle f_{A}(2) = 1 \)

Adesso però mi sevirebbe vedere quali sono le immagini di $P(A)->2^A$...una per una: non mi è chiaro per esempio, questo lo dico io ed è sicuramente errato, come mai $f_2(1)=0$ e anche $f_O/(1)=0$ sembrano avere la stessa immagine.

Grazie