Dimostrazione (probabilmente per induzione)
Dimostrare che
$1+sum_{j=2}^{n} (((n),(j))*sum_{h=0}^{j} (-1)^h(j!)/(h!))=n!$
Con un programmino in C ho verificato diversi casi, ed effettivamente la tesi sembrerebbe vera, ma a un certo punto della dimostrazione per induzione mi blocco e non so come procedere.
Questa tesi sono quasi sicuro che sia vera, deriva da dei calcoli relativi a una questione combinatoria (se serve poi ve ne parlo): la dimostrazione dell'uguaglianza mi serivrebbe non tanto per accertarmi che l'uguaglianza sia verificata per ogni $n$ (da come ci sono arrivato deve esserlo, sennò ho sbagliato tutto prima:-)), ma per una questione di "gusto".
Credo possiate capirmi.
Vi ringrazio per l'aiuto.
P.S. la tesi si può scrivere in maniera leggermente migliore semplificando il $j!$ dello sviluppo del coefficiente binomiale con quelli della sommatoria, ottenendo
$1+sum_{j=2}^{n} ((n!)/((n-j)!)*sum_{h=0}^{j} (-1)^h/(h!))=n!$
$1+sum_{j=2}^{n} (((n),(j))*sum_{h=0}^{j} (-1)^h(j!)/(h!))=n!$
Con un programmino in C ho verificato diversi casi, ed effettivamente la tesi sembrerebbe vera, ma a un certo punto della dimostrazione per induzione mi blocco e non so come procedere.
Questa tesi sono quasi sicuro che sia vera, deriva da dei calcoli relativi a una questione combinatoria (se serve poi ve ne parlo): la dimostrazione dell'uguaglianza mi serivrebbe non tanto per accertarmi che l'uguaglianza sia verificata per ogni $n$ (da come ci sono arrivato deve esserlo, sennò ho sbagliato tutto prima:-)), ma per una questione di "gusto".
Credo possiate capirmi.
Vi ringrazio per l'aiuto.
P.S. la tesi si può scrivere in maniera leggermente migliore semplificando il $j!$ dello sviluppo del coefficiente binomiale con quelli della sommatoria, ottenendo
$1+sum_{j=2}^{n} ((n!)/((n-j)!)*sum_{h=0}^{j} (-1)^h/(h!))=n!$
Risposte
C'ho giocato un po' e ho visto che puoi far sparire l'1, cominciando a sommare gli j da 0.
Poi però non mi viene in mente niente d'intelligente, nè l'induzione mi da alcun risultato.
Poi però non mi viene in mente niente d'intelligente, nè l'induzione mi da alcun risultato.
Se può essere utile, ti spiego perchè la formula è di sicuro vera.
Si tratta di $sum_{k=0}^{n} F_{n,k}$, dove $F_{n,k}$ indica il numero di permutazioni di un insieme con $n$ elementi che lasciano fissi esattamente $k$ elementi. Siccome il calcolo di $F_{n,k}$ sono convinto che sia giusto, allora la somma di tutte deve dare $n!$, ossia il numero totale di permutazioni possibili. Però non riesco a dimostrare, indipendentemente dal suo singificato combinatorio, la formula, per questo mi sono rivolto (come al solito) a voi.
p.s. ho postato anche qui http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... 1014#p1014
, nel caso lo scopriste da soli e ci rimaneste "male"
.
Si tratta di $sum_{k=0}^{n} F_{n,k}$, dove $F_{n,k}$ indica il numero di permutazioni di un insieme con $n$ elementi che lasciano fissi esattamente $k$ elementi. Siccome il calcolo di $F_{n,k}$ sono convinto che sia giusto, allora la somma di tutte deve dare $n!$, ossia il numero totale di permutazioni possibili. Però non riesco a dimostrare, indipendentemente dal suo singificato combinatorio, la formula, per questo mi sono rivolto (come al solito) a voi.
p.s. ho postato anche qui http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... 1014#p1014
, nel caso lo scopriste da soli e ci rimaneste "male"
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