Dimostrazione principio della somma
Ciao 
Vorrei avere un parere sulla dimostrazione del principio della somma (insiemistica). In particolare stavo cercando una dimostrazione online sul perché della cardinlaità $|AUB|=|A|+|B|$ se A,B finiti disgiunti, il pdf di una università (quindi penso corretto) dimostra così:
Posto per comodità $a:=|A|, b:=|B|$ poiché finiti A e B esistono biiezioni $alpha:I_a->A, beta:I_b->B$[nota]con $I_n={1,...,n}$[/nota]
Possiamo definire: $f:I_(a+b)->AUB$ ponendo
- $f(i):=alpha(i) if 1<=i<=a$
- $f(i):=beta(i-a) if a+1<=i<=a+b$
ed essendo per HP A,B disgiunti ho creato una biiezione tra AUB e un $I_n=I_(a+b)$, quindi concludo essere finito e con cardinalità a+b (la def. di cardinalità di un A datami è infatti che devo trovare una biiezione tra I_n e un A insieme).
Il punto che mi lascia un po' perplesso di come si affronta il problema è il seguente: per definire la funzione $beta$ "creo" l'insieme $I'_b={a+1,...,a+b}$ e questa cosa però non mi convince affatto perché in primis dovrei dimostrare che questa sia una cosa vera, cioè che basta sommare a ogni elemento di $I_b$ un a, insomma mi convince pochissimo la costruzione della biiezione $f:I_(a+b)->AUB$ e mi sembra che per dimostrare una cosa per evitare l'intuito sposta solo l'intuizione da un'altra parte: sulla creazione del dominio di beta appunto.
Credo di non afferrare qualcosa.
Vorrei avere un parere sulla dimostrazione del principio della somma (insiemistica). In particolare stavo cercando una dimostrazione online sul perché della cardinlaità $|AUB|=|A|+|B|$ se A,B finiti disgiunti, il pdf di una università (quindi penso corretto) dimostra così:
Posto per comodità $a:=|A|, b:=|B|$ poiché finiti A e B esistono biiezioni $alpha:I_a->A, beta:I_b->B$[nota]con $I_n={1,...,n}$[/nota]
Possiamo definire: $f:I_(a+b)->AUB$ ponendo
- $f(i):=alpha(i) if 1<=i<=a$
- $f(i):=beta(i-a) if a+1<=i<=a+b$
ed essendo per HP A,B disgiunti ho creato una biiezione tra AUB e un $I_n=I_(a+b)$, quindi concludo essere finito e con cardinalità a+b (la def. di cardinalità di un A datami è infatti che devo trovare una biiezione tra I_n e un A insieme).
Il punto che mi lascia un po' perplesso di come si affronta il problema è il seguente: per definire la funzione $beta$ "creo" l'insieme $I'_b={a+1,...,a+b}$ e questa cosa però non mi convince affatto perché in primis dovrei dimostrare che questa sia una cosa vera, cioè che basta sommare a ogni elemento di $I_b$ un a, insomma mi convince pochissimo la costruzione della biiezione $f:I_(a+b)->AUB$ e mi sembra che per dimostrare una cosa per evitare l'intuito sposta solo l'intuizione da un'altra parte: sulla creazione del dominio di beta appunto.
Credo di non afferrare qualcosa.
Risposte
C'è un errore di scrittura: l'applicazione \(\alpha\) ha codominio \(A\) e non \(I_{b}\).
Il dominio di \(\beta\) non è \(\{a+1,a+2,\ldots,a+b\}\), è \(I_{b} = \{1, 2, \ldots, b\}\).
Il dominio di \(\beta\) non è \(\{a+1,a+2,\ldots,a+b\}\), è \(I_{b} = \{1, 2, \ldots, b\}\).
"G.D.":
C'è un errore di scrittura: l'applicazione \(\alpha\) ha codominio \(A\) e non \(I_{b}\).
Sì esatto errore mio di battitura. Scusate, ho corretto!
"G.D.":
Il dominio di \(\beta\) non è \(\{a+1,a+2,\ldots,a+b\}\), è \(I_{b} = \{1, 2, \ldots, b\}\).
Questo non l'ho capito invece, io ho bisogno di due funzioni che partano da $I_(a+b)$ se definisco sia alpha che beta che hanno per dominio $I={1,...,i,..}$ fino $a$ o $b$ non vado a coprire $a+b$ ed è qui il mio dubbio, per questo definisce $beta(i-a)$ ma questo presuppone che $a+1≤i≤a+b$ ma chi mi dice che posso "traslare" di a ogni termine di $I_b$?
Le applicazioni \(\alpha\) e \(\beta\) non partono da \(I_{a+b}\), partono rispettivamente da \(I_{a}\) e \(I_{b}\), dato che sono le applicazioni che restituiscono la cardinalità di \(A\) e di \(B\) rispettivamente.
Quindi \(I_{a} = \{1,2,\ldots,a\}\) e \(I_{b} = \{1,2,\ldots,b\}\).
L'applicazione che parte da \(I_{a+b}\) è \(f\) ed è definita per casi: da \(1\) ad \(a\) è definita tramite \(\alpha\), da \(a+1\) ad \(a+b\) è definita tramite \(\beta\) "scalando" i naturali tra \(a+1\) ed \(a+b\) (inclusi) grazie a \(-a\).
Quindi \(I_{a} = \{1,2,\ldots,a\}\) e \(I_{b} = \{1,2,\ldots,b\}\).
L'applicazione che parte da \(I_{a+b}\) è \(f\) ed è definita per casi: da \(1\) ad \(a\) è definita tramite \(\alpha\), da \(a+1\) ad \(a+b\) è definita tramite \(\beta\) "scalando" i naturali tra \(a+1\) ed \(a+b\) (inclusi) grazie a \(-a\).
Ah ok forse ora ci sono, posso vedere $g:i-a->j$ con $j in I_b$, insomma come la funzione che collega $I'_b={a+1,...,a+b}$ a $I_b$ che è ovviamente biiettiva e quindi questi due hanno stessa cardinalità.
Fatto ciò posso vedere il caso $f(i):=β(i−a)$ come composizione di beta col g così definita.
Fatto ciò posso vedere il caso $f(i):=β(i−a)$ come composizione di beta col g così definita.
Sì però tu non devi provare che \(I'_{b}\) è equipotente a \(I_{b}\). Tu devi provare che \(I_{a+b}\) è equipotente a \(A \cup B\).
Sisi quello è certo, però se creo la biiezione f data dai due casi detto io mostro che $|AUB|=|I_(a+b)|$, ma non ho mostrato che $|I_(a+b)|=|I_a|+|I_b|$ mi pare, per questo facevo questo ragionamento:
Questo mi dice che Ho $|I_b|=|I'_b|$, inoltre la funzione $alpha$ mi dà la cardinalità di $I_a$, solo dopo aver mostrato ciò mi pare di poter concludere $|I_(a+b)|=|I_a|+|I'_b|=|I_a|+|I_b|$, altrimenti mi fermo a $|AUB|=|I_(a+b)|$.
Non so se ho chiarito da dove partiva il dubbio di apertura
Ah ok forse ora ci sono, posso vedere $g:i-a->j$ con $j in I_b$, insomma come la funzione che collega $I'_b={a+1,...,a+b}$ a $I_b$ che è ovviamente biiettiva e quindi questi due hanno stessa cardinalità.
Fatto ciò posso vedere il caso $f(i):=β(i−a)$ come composizione di beta col g così definita.
Questo mi dice che Ho $|I_b|=|I'_b|$, inoltre la funzione $alpha$ mi dà la cardinalità di $I_a$, solo dopo aver mostrato ciò mi pare di poter concludere $|I_(a+b)|=|I_a|+|I'_b|=|I_a|+|I_b|$, altrimenti mi fermo a $|AUB|=|I_(a+b)|$.
Non so se ho chiarito da dove partiva il dubbio di apertura
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