Dimostrazione per induzione e multiplo di 3
Devo dimostrare per induzione la seguente formula:
$AA n>0$ $n^3 -4n$ è multiplo di 3
Quindi il passo base è:
$p(1) = 1^3 - 4*1 = 1 - 4 = -3$
Il passo induttivo invece dice che:
Supponendo vera $P(n)= n^3 -4n$
Allora $P(n+1) = (n + 1)^3 - 4·(n + 1)$
Ora per dimostrare che sia effettivamente multiplo di tre immagino che devo scrivere la formula P(n+1) in modo che si capisca a colpo d'occhio che sia effettiamente multiplo di 3. Però non riesco a trovare nessun modo per scriverlo.
$AA n>0$ $n^3 -4n$ è multiplo di 3
Quindi il passo base è:
$p(1) = 1^3 - 4*1 = 1 - 4 = -3$
Il passo induttivo invece dice che:
Supponendo vera $P(n)= n^3 -4n$
Allora $P(n+1) = (n + 1)^3 - 4·(n + 1)$
Ora per dimostrare che sia effettivamente multiplo di tre immagino che devo scrivere la formula P(n+1) in modo che si capisca a colpo d'occhio che sia effettiamente multiplo di 3. Però non riesco a trovare nessun modo per scriverlo.
Risposte
$(n+1)^3-4(n+1)=n^3+3n^2+3n+1-4n-4=n^3-4n+3n^2+3n-3$
Supponendo che $n^3-4n$ è multiplo di $3$ perchè anche questo numero lo è?
Supponendo che $n^3-4n$ è multiplo di $3$ perchè anche questo numero lo è?
"cirasa":
$(n+1)^3-4(n+1)=n^3+3n^2+3n+1-4n-4=n^3-4n+3n^2+3n-3$
Supponendo che $n^3-4n$ è multiplo di $3$ perchè anche questo numero lo è?
Io mi sono riscritto tutto così:
$n^3-4n+ 3*(n^2+n-1)$
Dove la seconda parte, essendo moltiplicata per 3 è sicuramente multipla di 3, ma $n^3-4n$ come lo dimostro multiplo di 3?
E giustamente non avevonotate che $n^3-4n$ l'avevo supposto multiplo di 3 nel passo induttivo, e ritrovandoci così alla sommma di due multipli di 3 avremo come risultato un'altro multiplo di 3.
Esatto, è così che concludi.
Ciao.
Ciao.
Per ogni $n >= 2 3n+1 < 3n^2$
Il passo base è verificato infatti:
$P(2) = 3*3+1 < 3*2^2$
che diventa $6 < 12$
Per il passo induttivo supponiamo vera $P(n)=3n+1 < 3n^2$
Quindi $P(n+1) = 3(n+1)+1 < 3(n+1)^2$
perciò mi ritrovo a $3n+4 < 3n^2+6n+3$
A questo punto sembra già ad occhio vero il passo P(n+1) no? scommetto però che devo trovare comunque una forma più contratta per scriverlo? come?
Il passo base è verificato infatti:
$P(2) = 3*3+1 < 3*2^2$
che diventa $6 < 12$
Per il passo induttivo supponiamo vera $P(n)=3n+1 < 3n^2$
Quindi $P(n+1) = 3(n+1)+1 < 3(n+1)^2$
perciò mi ritrovo a $3n+4 < 3n^2+6n+3$
A questo punto sembra già ad occhio vero il passo P(n+1) no? scommetto però che devo trovare comunque una forma più contratta per scriverlo? come?
Cioè posso dire che:
3n+4 < 3n^2+6n+3
si può scrivere anche come
(3n+1)+3 < (3n^2)+6n+3
Ed essendo
3n+1 < 3n^2
Se diciamo che esiste h1, h2, appartenenti a Z ovvero h1 = (3n+1) e h2 = (3n^2)
Ed abbiamo detto nel passo induttivo che h1< h2
Possiamo dire anche che
h1+3< h2+6n+3 sarà a sua volta sicuramente vera? o l'ho fatta troppo facile?
3n+4 < 3n^2+6n+3
si può scrivere anche come
(3n+1)+3 < (3n^2)+6n+3
Ed essendo
3n+1 < 3n^2
Se diciamo che esiste h1, h2, appartenenti a Z ovvero h1 = (3n+1) e h2 = (3n^2)
Ed abbiamo detto nel passo induttivo che h1< h2
Possiamo dire anche che
h1+3< h2+6n+3 sarà a sua volta sicuramente vera? o l'ho fatta troppo facile?
Per ipotesi induttiva
$3n+1<3n^2$ (P(n))
Per provare P(n+1) cioè che $(3n+1)+3 < (3n^2)+6n+3$ è sufficiente provare che
$3<6n+3$.
Ma questo è vero perchè $n\geq2$.
Va bene?
P.S. Usa le formule, altrimenti gli amministratori ti tirano le orecchie.
$3n+1<3n^2$ (P(n))
Per provare P(n+1) cioè che $(3n+1)+3 < (3n^2)+6n+3$ è sufficiente provare che
$3<6n+3$.
Ma questo è vero perchè $n\geq2$.
Va bene?
P.S. Usa le formule, altrimenti gli amministratori ti tirano le orecchie.
Scusami per fare di fretta me ne ero dimenticato.
Quindi tu dici eliminaimo anche questa volta la parte che ci è gia nota per il passo induttivo e ci rimane
$3<6n+3$ e dato che la nostra n deve essere $n>2$ è vero. Perfetto.
Quindi tu dici eliminaimo anche questa volta la parte che ci è gia nota per il passo induttivo e ci rimane
$3<6n+3$ e dato che la nostra n deve essere $n>2$ è vero. Perfetto.
Sì, se per "eliminando la parte già nota", intendi "spostando la tua attenzione sulla parte che non conosci e cercare di ottenere informazioni su di essa", allora è così.
Infatti poi sommando membro a membro la disuguaglianza $3<6n+3$ con quella data dall'ipotesi induttiva, ottieni appunto quanto vuoi provare.
Ciao!
Infatti poi sommando membro a membro la disuguaglianza $3<6n+3$ con quella data dall'ipotesi induttiva, ottieni appunto quanto vuoi provare.
Ciao!
Sisi intendevo spostando la nostra attenzione dalla parte nota al "restante".
Anche se a questo punto come posso scriverlo?
Cioè se scrivo
$3n+1<3n^2$ vera;
e sapendo anche che
$3<6n+3$ vera;
Allora la nostra p(n+1) è anch'essa vera perchè formata dalle due proposizione vere di cui sopra? Oppure c'è un modo più elegante per scriverlo?
Anche se a questo punto come posso scriverlo?
Cioè se scrivo
$3n+1<3n^2$ vera;
e sapendo anche che
$3<6n+3$ vera;
Allora la nostra p(n+1) è anch'essa vera perchè formata dalle due proposizione vere di cui sopra? Oppure c'è un modo più elegante per scriverlo?
Puoi scrivere così:
La tesi è vera per $n=2$.
Supponiamo che sia vera per un certo intero $n\geq2$, cioè supponiamo che
$3n+1<3n^2$. (*)
Visto che $n\geq2$, si ha anche che
$3<6n+3$ (**)
Sommando la (*) con la (**) segue che
$3(n+1)+1<3n^2+6n+3=3(n+1)^2$
cioè la tesi vale per $n+1$.
Che ne dici?
La tesi è vera per $n=2$.
Supponiamo che sia vera per un certo intero $n\geq2$, cioè supponiamo che
$3n+1<3n^2$. (*)
Visto che $n\geq2$, si ha anche che
$3<6n+3$ (**)
Sommando la (*) con la (**) segue che
$3(n+1)+1<3n^2+6n+3=3(n+1)^2$
cioè la tesi vale per $n+1$.
Che ne dici?
"cirasa":
Puoi scrivere così:
La tesi è vera per $n=2$.
Supponiamo che sia vera per un certo intero $n\geq2$, cioè supponiamo che
$3n+1<3n^2$. (*)
Visto che $n\geq2$, si ha anche che
$3<6n+3$ (**)
Sommando la (*) con la (**) segue che
$3(n+1)+1<3n^2+6n+3=3(n+1)^2$
cioè la tesi vale per $n+1$.
Che ne dici?
Si si fila benissimo
Ora dimmi una cosa spassionata, ma sono l'unico che si perde in queste cose base? Oppure ci hanno "sbatutto" un pò tutti ed andando avanti diventa pane quotidiano?
Non mi trovo ancora bene in linea generale con la dimostrazione per induzione, ovvero:
- So che è una tecnica che serve per dimostrare una formula che è valida per più numeri in sequenza;
- So che funziona verificando il passo base, supponendo che sia vera anche per un generico numero n e verificandola per un n+1
Però di volta in volta come cambia il tipo di esercizio mi perdo sul come riuscire a verificare l'n+1.
Ci sono esercizi dove ti danno una sommatoria = ad una detereminata formula e allora verificare il passo n+1 diventa verofocare che sostituendo n+1 sia alla sommatoria che alla formula si ottiene lo stesso risultato;
In altri esercizi hai sequenze di moltiplicazioni che sono sempre uguali ad una formula ed anche li sostituisci l'n+1 in entrambe le formule e vedi un pò se combacia;
A volte mi perdo anche nel mettere in evidenza i termini per far sembrare un qualcosa multiplo di 3.
Se mi metto, mettendoci tanto ma tanto tempo, fino alla fine ce la faccio. Però ho fatto ad esempio un precorso di matematica ad inizio anno: erano cose che bene o male sapevo fare, ma erano un sacco di esercizi da fare in 15 minuti. Se è anche cosi agli esami devo diventare così bravo da riuscire a farli a colpo d'occhio!
Immagino che tu stia al primo anno di Matematica.
Hai compreso bene il meccanismo della dimostrazione per induzione.
Non ti preoccupare se a volte capìta che tu non riesca a riesca a risolvere gli esercizi "a colpo d'occhio", è normale se ci stai sbattendo la testa da poco
Per risolvere questo tipo di esercizi ci vuole la piena comprensione del meccanismo, un po' di intuito e un po' di esperienza. Se continuerai a Studiare Matematica, affinerai le tecniche che vengono utilizzate più di frequente e fra un anno queste cose ti appariranno semplici. In compenso troverai altri problemi da risolvere.
E poi attenzione a pensare che ci sia una regola per fare tutte le dimostrazioni per induzione. Se così fosse sarebbe tutto molto facile, ma anche terribilmente noioso
Hai compreso bene il meccanismo della dimostrazione per induzione.
Non ti preoccupare se a volte capìta che tu non riesca a riesca a risolvere gli esercizi "a colpo d'occhio", è normale se ci stai sbattendo la testa da poco
Per risolvere questo tipo di esercizi ci vuole la piena comprensione del meccanismo, un po' di intuito e un po' di esperienza. Se continuerai a Studiare Matematica, affinerai le tecniche che vengono utilizzate più di frequente e fra un anno queste cose ti appariranno semplici. In compenso troverai altri problemi da risolvere.
E poi attenzione a pensare che ci sia una regola per fare tutte le dimostrazioni per induzione. Se così fosse sarebbe tutto molto facile, ma anche terribilmente noioso
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