Dimostrazione per induzione - disequazione

[Sk_Anonymous]

Ciao, posto un altro problema sul principio di induzione.

Come faccio a dimostrare per induzione su n€N che, per ogni intero n>=5 vale:

$2^n>n^2-1/2$

Inoltre dovrei calcolare il minimo intero m€N per cui la precedente disuguaglianza sia valida per ogni n>=m

Passaggi per la soluzione.

i) Verificare che P(5) è vera. OK verificata
ii) Riscrivo la tesi su P(n+1) $2^(n+1)>(n+1)^2-1/2$

Poi come devo fare ??

Giampaolo

[Gatto891]

Scrivi $2^{n+1} = 2\cdot2^n$ e applichi l'ipotesi induttiva:

$2\cdot2^n > 2(n^2 -1/2) > (n+1)^2 -1/2$

La prima disuglianza è proprio l'ipotesi induttiva, ti resta da verificare la seconda che si verifica facilmente..

[Sk_Anonymous]

Come seconda disuguaglianza da verificare intendi $2(n^2-1/2) > (n+1)^2 -1/2 $ ??

Grazie

[Gatto891]

Si (se ti vengono dubbi nei passaggi postali).

Chiaramente, verificata quella, poichè la prima era già verificata per ipotesi, per transitività varrà la disuguaglianza tra primo membro ($2^{n+1}$) e terzo ($(n+1)^2 -1/2$).

[Sk_Anonymous]

Gatto89 ho un dubbio sui passaggi per la soluzione:

$2(n^2-1/2) > (n+1)^2 -1/2 $

$ 2n^2-1 > n^2+2n+1/2 $

$ n^2 > 2n+3/2 $

$ n^2-2n > 3/2 $

$ n(n-2) > 3/2 $

il polinomio si annulla per n=0 ed n=2 ?? qui non so più andare avanti colelgando il discorso dell'induzione.

[Gatto891]

"giampfrank":Gatto89 ho un dubbio sui passaggi per la soluzione:

$2(n^2-1/2) > (n+1)^2 -1/2 $

$ 2n^2-1 > n^2+2n+1/2 $

$ n^2 > 2n+3/2 $

$ n^2-2n > 3/2 $

$ n(n-2) > 3/2 $

Beh hai finito, ricordando le condizioni iniziali su $n$:

"giampfrank, nel primo post":
per ogni intero $n>=5$ vale:

[mefist90-votailprof]

scusate se uppo, ma non capisco una cosa:

ho capito che $2 * 2^n > 2(n^2-1/2)$, ma secondo quale ragionamento posso dire che $2(n^2-1/2) > (n+1)^2 - 1/2$?

[Paolo902]

"shinji":scusate se uppo, ma non capisco una cosa:

ho capito che $2 * 2^n > 2(n^2-1/2)$, ma secondo quale ragionamento posso dire che $2(n^2-1/2) > (n+1)^2 - 1/2$?

Per il ragionamento che ha fatto giampfrank nel suo ultimo post e per la conclusione di Gatto89. Quella disuguaglianza si può riscrivere come $n(n-2)>3/2$, che è sicuramente vera per ogni intero $n >=5$. E' un po' più chiaro?