Dimostrazione per induzione
Ciao a tutti!
Mi sono riavvicinata da poco alla matematica, lo faccio perché mi piace da matti e per tenere la testa attiva, nonostante la mia vita sia fatta di tutt'altro. Mi sto cimentando nella lettura del testo "Che cos'è la matematica", sicuramente nota alla maggior parte di voi. Spero di essere nella sezione giusta per postare il mio problema.
Non riesco a dimostrare per induzione che :
$(1+q)*(1+q^2)*(1+q^4)*....*(1+q^(2n)) = {1-q^[2^(n+1)]} / (1-q) $
Dimostrato che è vera per n=1, non riesco a dire che, supponendola vera per $n$, allora posso dirla vera per $n+1$.
Procedo moltiplicando entrambi i membri per $(1+q^(2(n+1)))$, lavorando su quello di destra, ottengo questo:
$(1+q^(2(n+1)))*{1-q^[2^(n+1)]} / (1-q) $
Mi potete dare una mano?
Mi sono riavvicinata da poco alla matematica, lo faccio perché mi piace da matti e per tenere la testa attiva, nonostante la mia vita sia fatta di tutt'altro. Mi sto cimentando nella lettura del testo "Che cos'è la matematica", sicuramente nota alla maggior parte di voi. Spero di essere nella sezione giusta per postare il mio problema.
Non riesco a dimostrare per induzione che :
$(1+q)*(1+q^2)*(1+q^4)*....*(1+q^(2n)) = {1-q^[2^(n+1)]} / (1-q) $
Dimostrato che è vera per n=1, non riesco a dire che, supponendola vera per $n$, allora posso dirla vera per $n+1$.
Procedo moltiplicando entrambi i membri per $(1+q^(2(n+1)))$, lavorando su quello di destra, ottengo questo:
$(1+q^(2(n+1)))*{1-q^[2^(n+1)]} / (1-q) $
Mi potete dare una mano?
Risposte
La formula corretta non è quella che hai scritto, ma
$(1+q)*(1+q^2)*(1+q^4)*....*(1+q^(2^n)) = {1-q^[2^(n+1)]} / (1-q) $
Il passo induttivo adesso viene:
$(1+q)*(1+q^2)*(1+q^4)*....*(1+q^(2^n))*(1+q^( 2^(n+1) ))={1-q^[2^(n+1)]} / (1-q) *(1+q^( 2^(n+1) ))=[(1-q^[2^(n+1)]) *(1+q^( 2^(n+1) ))]/(1-q)=$
A numeratore abbiamo un prodotto notevole, somma per differenza.
Sappiamo che $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$, quindi abbiamo
$=[1- (q^(2^(n+1) ) )^2]/(1-q)$
Ora, con un po' di manipolazione derivante dalle proprietà delle potenze arriviamo al risultato
$(1+q)*(1+q^2)*(1+q^4)*....*(1+q^(2^n)) = {1-q^[2^(n+1)]} / (1-q) $
Il passo induttivo adesso viene:
$(1+q)*(1+q^2)*(1+q^4)*....*(1+q^(2^n))*(1+q^( 2^(n+1) ))={1-q^[2^(n+1)]} / (1-q) *(1+q^( 2^(n+1) ))=[(1-q^[2^(n+1)]) *(1+q^( 2^(n+1) ))]/(1-q)=$
A numeratore abbiamo un prodotto notevole, somma per differenza.
Sappiamo che $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$, quindi abbiamo
$=[1- (q^(2^(n+1) ) )^2]/(1-q)$
Ora, con un po' di manipolazione derivante dalle proprietà delle potenze arriviamo al risultato
Scusa, ma la formula che ho scritto è quella che ho preso dal testo dell'esercizio e mi sembra corretta.
Tanto che leggo lo stesso problema in un altro post sul sito****, ecco il link: http://forum****/matematica-fisica/924456-principio-induzione.html, vai direttamente al post numero 4 perché in quelli prima ci sono degli errori.
Tanto che leggo lo stesso problema in un altro post sul sito****, ecco il link: http://forum****/matematica-fisica/924456-principio-induzione.html, vai direttamente al post numero 4 perché in quelli prima ci sono degli errori.
"delca85":Ho letto. E' sbagliata anche quella scrittura. Tant'è che c'è solo l'enunciato, manca la dimostrazione.
Scusa, ma la formula che ho scritto è quella che ho preso dal testo dell'esercizio e mi sembra corretta.
Tanto che leggo lo stesso problema in un altro post sul sito****, ecco il link:...
Ti trovo un controesempio: prendiamo $n=4$. Stando a quel teorema dovrebbe valere
$(1+q)(1+q^2)(1+q^4)(1+q^6)(1+q^8)=(1-q^(10))/(1-q)$, con $q!=1$, giusto?
Ebbene, prendi $q=2$
Il primo membro è pari a $3*5*17*65*257$, cioè a $4.259.775$
Mentre il secondo membro è pari a $(1-1024)/(1-2)=1.023$
Fine
Perfetto! Hai completamente ragione, ed io che mi sono spaccata la testa per un intero pomeriggio dietro questo enunciato.
Grazie! Ora provo a rifare tutto con la scrittura corretta! Grazie ancora!!
Grazie! Ora provo a rifare tutto con la scrittura corretta! Grazie ancora!!
Beh, non è colpa tua.
Purtroppo quel ragazzo ha sbagliato a scrivere una piccola cosa, e ti ha sballato tutto.
Per una maggior chiarificazione conviene scrivere
$(1+q)*(1+q^2)*(1+q^4)*....*(1+q^(2^n)) = {1-q^[2^(n+1)]} / (1-q) $
in un altro modo, cioè così:
$(1+q^(2^0))*(1+q^(2^1))*(1+q^(2^2))*...*(1+q^(2^(n-1)))*(1+ q^( 2^n ) ) = {1-q^[2^(n+1)]} / (1-q) $
Così si capisce bene cosa è che varia e come.
Buon lavoro e continua con la tua passione per la matematica
Purtroppo quel ragazzo ha sbagliato a scrivere una piccola cosa, e ti ha sballato tutto.
Per una maggior chiarificazione conviene scrivere
$(1+q)*(1+q^2)*(1+q^4)*....*(1+q^(2^n)) = {1-q^[2^(n+1)]} / (1-q) $
in un altro modo, cioè così:
$(1+q^(2^0))*(1+q^(2^1))*(1+q^(2^2))*...*(1+q^(2^(n-1)))*(1+ q^( 2^n ) ) = {1-q^[2^(n+1)]} / (1-q) $
Così si capisce bene cosa è che varia e come.
Buon lavoro e continua con la tua passione per la matematica
Anche la dimostrazione è venuta! La differenza di quadrati!!
Grazie ancora per avermi illuminata! E dire che mi era sembrato strano il fatto che la potenza del primo elemento di $q$ fosse dispari ma non mi ero soffermata molto sulla cosa.
Ciao!
Grazie ancora per avermi illuminata! E dire che mi era sembrato strano il fatto che la potenza del primo elemento di $q$ fosse dispari ma non mi ero soffermata molto sulla cosa.
Ciao!
Non voglio approfittare del forum, ma potreste darmi una mano e mettermi sulla retta via per la ricerca del risultato di questa progressione geometrica:
$1/(1+x^2) + 1/(1+x^2)^2 + 1/(1+x^2)^3 + .... 1/(1+x^2)^n$.
Mi ritrovo con la somma di $n$ potenze di un binomio, ma non so come utilizzarla. Non voglio la soluzione, ma una mano a trovarla
$1/(1+x^2) + 1/(1+x^2)^2 + 1/(1+x^2)^3 + .... 1/(1+x^2)^n$.
Mi ritrovo con la somma di $n$ potenze di un binomio, ma non so come utilizzarla. Non voglio la soluzione, ma una mano a trovarla
Se poni $q=1/(1+x^2)$ ottieni
$q+q^2+q^3+.... q^n$, che possiamo scrivere così: $sum_(i=1)^(n) q^i$, che saprai senz'altro quanto vale
$q+q^2+q^3+.... q^n$, che possiamo scrivere così: $sum_(i=1)^(n) q^i$, che saprai senz'altro quanto vale
Grazie!
Ecco il risultato che ho trovato, ed ho provato a dimostrare per induzione con successo:
$[(1+x^2)^n-1]/[x^2*(1+x^2)^n]$.
Ecco il risultato che ho trovato, ed ho provato a dimostrare per induzione con successo:
$[(1+x^2)^n-1]/[x^2*(1+x^2)^n]$.
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