Dimostrazione per induzione
Ciao a tutti,
Rieccomi alle prese con l'analisi matematica e con un esercizio che non riesco a risolvere.
dimostrare per induzione la formula:
se $\epsilon$ e $y$ appartengono ad $R$,
$0<\epsilon
Il suggerimento dice di sostituire ad entrambi i membri
$2y=(y+\epsilon)+(y-\epsilon)$
Nonostante il suggerimento non riesco a farlo. Ho sostituito $2y$ al primo membro e $(y+\epsilon)+(y-\epsilon)$ al secondo ed ora non so come andare avanti.
Rieccomi alle prese con l'analisi matematica e con un esercizio che non riesco a risolvere.
dimostrare per induzione la formula:
se $\epsilon$ e $y$ appartengono ad $R$,
$0<\epsilon
Il suggerimento dice di sostituire ad entrambi i membri
$2y=(y+\epsilon)+(y-\epsilon)$
Nonostante il suggerimento non riesco a farlo. Ho sostituito $2y$ al primo membro e $(y+\epsilon)+(y-\epsilon)$ al secondo ed ora non so come andare avanti.
Risposte
secondo me il suggerimento è quello di scrivere la formula in questo modo:
$(y+epsilon)^n-(y-epsilon)^n <= 2*epsilon*[(y+epsilon)+(y-epsilon)]^(n-1)$
per poi scrivere il primo membro scomponendolo come differenza di potenze di ugual esponente e,
al contrario, al secondo membro sviluppare la potenza (n-1)-esima del binomio.
così dovresti ottenere in entrambi i membri, $2*epsilon$ per un "polinomio di n termini", simili a primo membro e secondo membro, però a primo membro con tutti coefficienti uguali a 1 e a secondo membro con coefficienti pari ai coefficienti binomiali $((n-1), (k))$, con k che va da 0 a (n-1), tutti >=1, solo due =1, gli altri n-2 maggiori strettamente di 1, con i termini base comunque positivi (perché sono $y+epsilon$ e $y-epsilon$).
spero di essere stata chiara. ciao.
$(y+epsilon)^n-(y-epsilon)^n <= 2*epsilon*[(y+epsilon)+(y-epsilon)]^(n-1)$
per poi scrivere il primo membro scomponendolo come differenza di potenze di ugual esponente e,
al contrario, al secondo membro sviluppare la potenza (n-1)-esima del binomio.
così dovresti ottenere in entrambi i membri, $2*epsilon$ per un "polinomio di n termini", simili a primo membro e secondo membro, però a primo membro con tutti coefficienti uguali a 1 e a secondo membro con coefficienti pari ai coefficienti binomiali $((n-1), (k))$, con k che va da 0 a (n-1), tutti >=1, solo due =1, gli altri n-2 maggiori strettamente di 1, con i termini base comunque positivi (perché sono $y+epsilon$ e $y-epsilon$).
spero di essere stata chiara. ciao.
Io ho ragionato così:
$(y+\epsilon)^(n+1)-(y-\epsilon)^(n+1)=y[(y+\epsilon)^n-(y-\epsilon)^n]+\epsilon[(y+\epsilon)^n+(y-\epsilon)^n]<=(2y)^n*\epsilon + \epsilon[(y+\epsilon)^n+(y-\epsilon)^n]<(2y)^n*\epsilon + \epsilon *(2y)^n=2^(n+1)*y^n*\epsilon$.
Nel ragionamento ho sfruttato il fatto che:
$((y+\epsilon)^n+(y-\epsilon)^n)<=(2y)^n$
$(y+\epsilon)^(n+1)-(y-\epsilon)^(n+1)=y[(y+\epsilon)^n-(y-\epsilon)^n]+\epsilon[(y+\epsilon)^n+(y-\epsilon)^n]<=(2y)^n*\epsilon + \epsilon[(y+\epsilon)^n+(y-\epsilon)^n]<(2y)^n*\epsilon + \epsilon *(2y)^n=2^(n+1)*y^n*\epsilon$.
Nel ragionamento ho sfruttato il fatto che:
$((y+\epsilon)^n+(y-\epsilon)^n)<=(2y)^n$
scusa clscr mi spieghi il primo passaggio????
come ti risulta quell'uguaglianza??
come ti risulta quell'uguaglianza??
"miuemia":
scusa clscr mi spieghi il primo passaggio????
come ti risulta quell'uguaglianza??
$(y+\epsilon)^(n+1)-(y-\epsilon)^(n+1)= (y+\epsilon)^n*(y+\epsilon)-(y-\epsilon)^n*(y-\epsilon)=y*(y+\epsilon)^n+\epsilon*(y+\epsilon)^n- y*(y-\epsilon)^n + \epsilon*(y-\epsilon)^n = y [(y+\epsilon)^n-(y-\epsilon)^n] + \epsilon[(y+\epsilon)^n+(y-\epsilon)^n]$
perfetto
Ok, grazie a tutti.
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