Dimostrazione per induzione

[Lorin1]

Utilizzando il principio di induzione dimostrare che

$1+3+5+.....2n - 1 = n^2$

Allora io l'ho impostato in questo modo, ma temo che ci sia un errore:

Come richiede il principio di induzione prendiamo un numero $h in NN$ e dimostriamo che ciò che vogliamo dimostrare vale, quindi:

$A(1) => 1 = 1^2 $ ed è verificato

Ora per dimostrare che è vera sempre qualunque $n$ prendiamo, bisogna dimostrae che anche per $A(n+1)$ è valida, quindi:

$A(n+1) => 1+3+5+.....2(n+1) -1 = (n+1)^2$

$ => 1+3+5+....2n +2 -1 = n^2 +2n+1$

$=> 1+3+5+ = n^2$

Così mi trovo, ma mi pare un pò strano, perchè non ho dimostrato che $1+3+5+....2n-1= n^2$


Datemi una mano please....

[Studente Anonimo]

Potresti specificare meglio il titolo? Magari mettendo qualcosa come "Dimostrazione per induzione", per una questione di chiarezza.
Grazie.

[Lorin1]

si scusa....ho corretto...

[G.D.5]

"Lorin":
Come richiede il principio di induzione prendiamo un numero $h in NN$ e dimostriamo che ciò che vogliamo dimostrare vale...

Intanto non ho capito da dove esce quell'$h$...

Ad ogni modo, per $n=1$ è OK.
Per il passo induttivo io avrei fatto così:

$1+3+5+\cdots+(2n-1)+[2(n+1)-1]\stackrel[(1)]{=}n^2 + [2(n+1)-1]=n^2 + 2n + 2 - 1= n^2 + 2n + 1= (n+1)^2$

Dunque l'asserto è provato anche per $n+1$.
___________________________
$(1)$ Per ipotesi induttiva.

[Lorin1]

scusa non capisco perchè tu aggiungi $[2(n+1) -1]$ in base a quale criterio lo fai?

Se io provo per $A(n+1)$ non significa che devo sostituire a $n$ $(n+1)$ in $1+3+5+....2n-1=n^2$?

[G.D.5]

"Lorin":scusa non capisco perchè tu aggiungi $[2(n+1) -1]$ in base a quale criterio lo fai?

Se io provo per $A(n+1)$ non significa che devo sostituire a $n$ $(n+1)$ in $1+3+5+....2n-1=n^2$?

Certo, è quello che ho fatto anche io.
Se supponi che l'asserto valga per $n$ allora supponi che sia vera

(*) $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$

Cioè supponi che la somma dei primi $n$ interi positivi dispari sia uguale al quadrato di $n$.
Adesso bisogna provare che l'asserto vale anche $n+1$: cioè bisogna provare che la somma dei primi $n+1$ interi dispari è uguale al quadrato di $n+1$.
Se il LHS di (*) è la somma dei primi $n$ interi dispari, per avere la somma dei primi $n+1$ interi dispari ti manca l'$n+1$-esimo termine della somma in questione, cioè $2(n+1)-1$. Ragione per cui si perviene a

(**) $\stackrel{\text{somma dei primi n interi dispari}}[1+3+\cdots+(2n-1)]+\stackrel{\text{n+1-esimo dispari}}[[2(n+1)-1]]=(n+1)^2$

dove (**) è da provare.