Dimostrazione per induzione
Salve a tutti, ho questo esercizio da risolvere sfruttando il principio di induzione ma da un certo punto in poi non riesco a proseguire nella dimostrazione. Riporto la traccia dell'esercizio cosi come mi è stata assegnata.
Sia $ (a_n)_(nin N) $ una successione in N e $ b> 1 $
Se $ AA nin N $ è $ a_n < b rArr AA nin N \sum_{i=0}^n a_ib^i
Ho proceduto in questo modo.
PASSO BASE
Per n=0 $ a_0 < b $ da cui segue banalmente la tesi.
PASSO INDUTTIVO
Suppongo vero per n che $ AA nin N $ è $ a_n < b rArr AA nin N \sum_{i=0}^n a_ib^i
I miei problemi sorgono proprio in questo punto. A partire da $ a_(n+1)
Grazie a tutti coloro che vorranno chiarirmi questi dubbi e/o darmi qualche suggerimento per procedere nella dimostrazione.
Sia $ (a_n)_(nin N) $ una successione in N e $ b> 1 $
Se $ AA nin N $ è $ a_n < b rArr AA nin N \sum_{i=0}^n a_ib^i
Ho proceduto in questo modo.
PASSO BASE
Per n=0 $ a_0 < b $ da cui segue banalmente la tesi.
PASSO INDUTTIVO
Suppongo vero per n che $ AA nin N $ è $ a_n < b rArr AA nin N \sum_{i=0}^n a_ib^i
I miei problemi sorgono proprio in questo punto. A partire da $ a_(n+1)
Grazie a tutti coloro che vorranno chiarirmi questi dubbi e/o darmi qualche suggerimento per procedere nella dimostrazione.
Risposte
Ciao! Scusa la risposta frettolosa (spero giusta, ma controllala!)...
Nelle tue ipotesi (\(a_n
EDIT: corretto l'errore sul pedice.
Nelle tue ipotesi (\(a_n
EDIT: corretto l'errore sul pedice.
Ciao, grazie per la risposta. Effettivamente non avevo considerato la possibilità di sfruttare l'informazione che $ a_(n+1)+1<= b $. L'unico errore da te commesso nel riscrivere la sommatoria sta solamente nel fatto che per b la i non è pedice ma apice. Tuttavia, spero mi perdonerai, non ho ben capito il passaggio logico. Facendo un passo indietro, non dovrei dimostrare prima la validità della disuguaglianza $ a_(n+1)< b $ per poi passare all'altra parte dell' implicazione riscritta per n+1 (ovvero il passaggio da te riportato)? Se non ho frainteso, sei passato direttamente a verificare che per n+1 sia vera la solo la seconda parte della implicazione ma correggimi se sbaglio. Purtroppo sono ancora alle prime armi con l'induzione, soprattutto applicata a roba più raffinata come questa rispetto ai tradizionali esercizi "didattici". Se potresti essere più chiaro/dettagliato te ne sarei infinitamente grato.
Ma $b$ com'è?
"otta96":
Ma $b$ com'è?
Cosa intendi esattamente? Ti rispondo per come ho inteso la tua domanda: b è un naturale maggiore di 1 (come ho scritto nella traccia dell’esercizio nel primo post).
Da quello che ho intuito, devi dimostrare che, data la successione \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{N}\) limitata superiormente da \(b\in\mathbb{N}\) (??), è \(\sum_{i=0}^{n}a_ib^i < b^{n+1}\) per ogni naturale \(n\); correggimi se ho frainteso, vd. sotto. Allora è \(a_{\nu+1}
Adesso che riguardo il primo post, penso che forse ti sia stato chiesto di dimostrare che "data la successione \((a_n)\) non necessariamente limitata da \(b\in\mathbb{N}\), se per ogni \(\nu\in\{0,\dots,n\}\subset\mathbb{N}\), \(a_\nu < b\) allora \(\sum_{i=0}^{n}\text{bla bla bla}\)". In questo caso, per dimostrare la "seconda implicazione" (cioè, per provare che se \(\nu\in\{1,\dots,n,n+1\}\) allora \(\sum_{i=0}^{n+1}a_ib^i < b^{n+2}\), assunta quella che è l'ipotesi induttiva) assumi che per \(\mathbb{N}\ni\nu\leq n+1\) sia \(a_\nu < b\) (\(\mathcal{P}\implies{Q}\) è vera sse, quando è vera \(\mathcal{P}\), \(\mathcal{Q}\) lo è); è ancora \(a_{n+1}+1 \leq b\) (\(n+1\in\{1,\dots,n,n+1\}\)!).
Però in effetti se \(b\) non è un naturale nessuno ci assicura che \(a_n+1\leq b\)...
Adesso che riguardo il primo post, penso che forse ti sia stato chiesto di dimostrare che "data la successione \((a_n)\) non necessariamente limitata da \(b\in\mathbb{N}\), se per ogni \(\nu\in\{0,\dots,n\}\subset\mathbb{N}\), \(a_\nu < b\) allora \(\sum_{i=0}^{n}\text{bla bla bla}\)". In questo caso, per dimostrare la "seconda implicazione" (cioè, per provare che se \(\nu\in\{1,\dots,n,n+1\}\) allora \(\sum_{i=0}^{n+1}a_ib^i < b^{n+2}\), assunta quella che è l'ipotesi induttiva) assumi che per \(\mathbb{N}\ni\nu\leq n+1\) sia \(a_\nu < b\) (\(\mathcal{P}\implies{Q}\) è vera sse, quando è vera \(\mathcal{P}\), \(\mathcal{Q}\) lo è); è ancora \(a_{n+1}+1 \leq b\) (\(n+1\in\{1,\dots,n,n+1\}\)!).
"otta96":
Ma $ b $ com'è?
Però in effetti se \(b\) non è un naturale nessuno ci assicura che \(a_n+1\leq b\)...
"pcnf16":
Cosa intendi esattamente? Ti rispondo per come ho inteso la tua domanda: b è un naturale maggiore di 1 (come ho scritto nella traccia dell’esercizio nel primo post).
Quello che non mi era chiaro era che $b$ fosse un naturale, avevo il dubbio che fosse una reale $>1$.
Se le cose stanno così allora puoi fare in questo modo: sai che $\sum_{i=0}^na_ib^i
N.B. Un'ultima cosa: non ho letto le risposte di marco2132k (mi stava fatica
), è possibilissimo che le sue risposte siano anche migliori della mia, insomma leggi la mia e poi decidi con quale ti trovi meglio.
non mi e' chiara una cosa, ossia quando dici che supponendo il passo induttivo vero, poi dici che devi dimostrare che questo e' vero anche per n+1.
ma il principio di induzione mi pare che non dica che tu devi dimostrare la pn+1, nel tuo caso la an+1 ma solo che la pn+1 puo' essere dedotta dalla pn
ma il principio di induzione mi pare che non dica che tu devi dimostrare la pn+1, nel tuo caso la an+1 ma solo che la pn+1 puo' essere dedotta dalla pn
Dire che assumendo $P(n)$ dimostro $P(n+1)$ e da $P(n)$ si può dedurre $P(n+1)$ sono la stessa cosa.
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