Dimostrazione per induzione

[hank12]

Salve, mi servirebbe un aiuto per risolvere il seguente esercizio:
Dimostrare che per ogni $ n>=1(n!>=2^(n-1)) $ .
Io sono arrivato a questo punto:
Passo base:
$ 1! =1>=1=2^(1-1) $
Passo induttivo:
ipotesi induttiva: $ n!>=2^(n-1) $
Tesi induttiva: $ (n+1)!>=2^(n) $
$ (n+1)! =(n+1)*n!>=2^(n-1)*(n+1) $
Da questo punto in poi non so come continuare, Qualche suggerimento?
Grazie

[killing_buddha]

$n+1\ge 2$.

[algibro]

"hank12":Salve, mi servirebbe un aiuto per risolvere il seguente esercizio:
Dimostrare che per ogni $ n>=1(n!>=2^(n-1)) $ .
Io sono arrivato a questo punto:
Passo base:
$ 1! =1>=1=2^(1-1) $
Passo induttivo:
ipotesi induttiva: $ n!>=2^(n-1) $
Tesi induttiva: $ (n+1)!>=2^(n) $
$ (n+1)! =(n+1)*n!>=2^(n-1)*(n+1) $
Da questo punto in poi non so come continuare, Qualche suggerimento?
Grazie

$(n+1)! = n! \cdot (n+1) >= 2^{n-1} \cdot 2=2^n$
Quando scrivo che $n! \cdot (n+1) >= 2^{n-1} \cdot 2$ sfrutto l'ipotesi che $n! >= 2^{n-1}$ e che per $n>=1$ certamente $n+1>=2$.

[algibro]

"killing_buddha":$n+1\ge 2$.

ops, scusa

[hank12]

Intanto grazie ad entrambi, ma non mi è ancora chiaro il passaggio $ n>=1 $ allora $ n+1>=2 $ .
In particolare da dove arriva $ n>=1 $?
Grazie per la pazienza

[killing_buddha]

"hank12":Intanto grazie ad entrambi, ma non mi è ancora chiaro il passaggio $ n>=1 $ allora $ n+1>=2 $ .
In particolare da dove arriva $ n>=1 $?
Grazie per la pazienza

Per esempio dal fatto che la tua induzione comincia da 1?

[hank12]

Si ci avevo pensato.
prendendo invece questo esercizio:
Per ogni $ n>=4(n! >2^n) $
passo base $ 24>16 $
passo induttivo:
Ipotesi induttiva $ n! >2^n $
tesi induttiva $ (n+1)! >2^(n+1) $
$ (n+1)! = n!*(n+1) > 2^(n)*5>2^(n+1)=2^n*2 $
per ip. induttiva $ n! >2^n $ e $ n>=4 $ quindi $ n+1>=5 $
Esatto?
Di nuovo grazie