Dimostrazione per Induzione
Salve a tutti, sto avendo problemi con questo esercizio, in particolare non so come andare avanti.
Devo dimostrare che questa proprietà vale per \(\displaystyle n>=1 \)
\(\displaystyle 1\cdot5+2\cdot5^2+3\cdot5^3+....+n\cdot5^n = \frac{5+(4n-1)5^{n+1}}{16} \)
PASSO BASE
\(\displaystyle P(1) = 1\cdot5 = \frac{5+(4-1)5^2}{16} \Rightarrow 5 = \frac{80}{16} \Rightarrow 5=5 \) \(\displaystyle VERA \)
IPOTESI INDUTTIVA
\(\displaystyle P(n) = 1\cdot5+2\cdot5^2+3\cdot5^3+....+n\cdot5^n = \frac{5+(4n-1)5^{n+1}}{16} \)
TESI INDUTTIVA
\(\displaystyle P(n+1) = 1\cdot5+2\cdot5^2+3\cdot5^3+....+n\cdot5^n + (n+1)5^{n+1} = \frac{5+(4n+3)5^{n+2}}{16} \)
Per ipotesi induttiva quindi:
\(\displaystyle \frac{5+(4n-1)5^{n+1}}{16} + (n+1)5^{n+1} \)
A questo punto non so come andare avanti per avere dimostrata questa proprietà, ho provato a fare il mcm ma i risultati non si semplificavano e non mi riconducevano alla tesi. Qualche aiuto? Grazie
Devo dimostrare che questa proprietà vale per \(\displaystyle n>=1 \)
\(\displaystyle 1\cdot5+2\cdot5^2+3\cdot5^3+....+n\cdot5^n = \frac{5+(4n-1)5^{n+1}}{16} \)
PASSO BASE
\(\displaystyle P(1) = 1\cdot5 = \frac{5+(4-1)5^2}{16} \Rightarrow 5 = \frac{80}{16} \Rightarrow 5=5 \) \(\displaystyle VERA \)
IPOTESI INDUTTIVA
\(\displaystyle P(n) = 1\cdot5+2\cdot5^2+3\cdot5^3+....+n\cdot5^n = \frac{5+(4n-1)5^{n+1}}{16} \)
TESI INDUTTIVA
\(\displaystyle P(n+1) = 1\cdot5+2\cdot5^2+3\cdot5^3+....+n\cdot5^n + (n+1)5^{n+1} = \frac{5+(4n+3)5^{n+2}}{16} \)
Per ipotesi induttiva quindi:
\(\displaystyle \frac{5+(4n-1)5^{n+1}}{16} + (n+1)5^{n+1} \)
A questo punto non so come andare avanti per avere dimostrata questa proprietà, ho provato a fare il mcm ma i risultati non si semplificavano e non mi riconducevano alla tesi. Qualche aiuto? Grazie
Risposte
Facendo il mcm hai che
$ (5+(4n-1)*5^(n+1))/16+(n+1)*(5^(n+1)) $ è uguale a $ (5+(4n-1)*(5^(n+1))+(16n+16)*(5^(n+1)))/16 $
Quindi raccogli il 5 elevato a n+1 e hai: $ (5+(4n-1+16n+16)*(5^(n+1)))/16 = (5+(20n+15)*5^(n+1))/16 $
Raccogli il 5 tra 20n e 15 : $ (5+(4n+3)*5*5^(n+1))/16 $ cioè : $ (5+(4n+3)*5^(n+2))/16 $
Ora $ (5+(4n+4-1)*5^(n+2))/16 $ , raccogli il 4 e hai $ (5+(4(n+1)-1)*5^(n+2))/16 $
CVD
$ (5+(4n-1)*5^(n+1))/16+(n+1)*(5^(n+1)) $ è uguale a $ (5+(4n-1)*(5^(n+1))+(16n+16)*(5^(n+1)))/16 $
Quindi raccogli il 5 elevato a n+1 e hai: $ (5+(4n-1+16n+16)*(5^(n+1)))/16 = (5+(20n+15)*5^(n+1))/16 $
Raccogli il 5 tra 20n e 15 : $ (5+(4n+3)*5*5^(n+1))/16 $ cioè : $ (5+(4n+3)*5^(n+2))/16 $
Ora $ (5+(4n+4-1)*5^(n+2))/16 $ , raccogli il 4 e hai $ (5+(4(n+1)-1)*5^(n+2))/16 $
CVD
"Asdrubale8":
Facendo il mcm hai che
$ (5+(4n-1)*5^(n+1))/16+(n+1)*(5^(n+1)) $ è uguale a $ (5+(4n-1)*(5^(n+1))+(16n+16)*(5^(n+1)))/16 $
Quindi raccogli il 5 elevato a n+1 e hai: $ (5+(4n-1+16n+16)*(5^(n+1)))/16 = (5+(20n+15)*5^(n+1))/16 $
Raccogli il 5 tra 20n e 15 : $ (5+(4n+3)*5*5^(n+1))/16 $ cioè : $ (5+(4n+3)*5^(n+2))/16 $
Ora $ (5+(4n+4-1)*5^(n+2))/16 $ , raccogli il 4 e hai $ (5+(4(n+1)-1)*5^(n+2))/16 $
CVD
Grazie mille, tutto chiarissimo. Non avevo pensato proprio a raccogliere i termini, ho il difetto di vedere tutto come un blocco unito e questo è sbagliato. Non è che per caso conosci qualche libro che tratti di queste cose? Grazie ancora per l'aiuto
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