Dimostrazione per induzione

[gamer07]

Salve ragazzi ,

ho problemi con lo svolgimento di questo esercizio ..
Mi date una manina magari con tutti i passaggi così posso confrontarmi con la vostra soluzione :

$n^2 > 2n+1 $ per ogni $n>2$

$n=3 $ risulta $ 9>7$ verificata.

Ma poi ho problemi col passo induttivo.

Grazie!

[Gi81]

Hai per ipotesi induttiva che $n^2>2n+1$ e devi dimostrare che $(n+1)^2>2(n+1)+1$

$(n+1)^2=n^2+2n+1>2n+1+2n+1=...$

[gamer07]

cioè viene così :
$ n^2 + 2n + 1 > 2n +2 + 1 $ (non ho capito perchèe hai scritto $ 2n+1+2n+1$ ) ...
si ma dopo questo passaggio ho finito ?!?
quello non capisco..


cioè non so potrei scrivere tipo

che $ (n*n) + (n+n) +1 > (n+n)+3 $
quindi alla fine

$(n+1)^2 > 2n+3... $

bho non vedo altre strade

[Gi81]

"gamer07": non ho capito perchè hai scritto $ 2n+1+2n+1$

perchè per ipotesi abbiamo che $n^2>2n+1$.
Quindi $n^2+2n+1>(2n+1)+2n+1$ (ho messo la partensei per sottolineare).

Ripeto: devi dimostrare che $(n+1)^2 >2(n+1)+1$ sapendo che $n^2>2n+1$.
Rifaccio il ragionamento: $(n+1)^2 = n^2+2n+1>2n+1+2n+1=2n+2+2n>2(n+1)+2n>2(n+1)+1$. Fine
[l'ultimissima disusuaglianza è vera in quanto vale $2n>1$ essendo $n$ un arbitrario numero naturale]