Dimostrazione per induzione
Salve a tutti,
$ 2^n + 4^n < 5^n $ si dimostri per induzione che è vera per ogni $ n>1 $
come base di induzione pongo n=2. Verifico :
$ 2^2 + 4^2 < 5^2 = 20 < 25 $ vero.
a questo punto provo a dimostrare che è vera per ogni n+1.
$ 2^(n+1) + 4^(n+1) < 5^(n+1) = 2^n * 2 + 4^n *4 < 5^n * 5 $
però mi sono reso conto che la mia strada non mi porta a niente.
Volevo poter scrivere in maniera da riportarla uguale al primo membro dell'ipotesi ma non credo sia possibile. In più il problema è che come l'ho scritta io $ 2^1 + 4^1 < 5^1 $ è falsa, perchè vale (come da traccia ) per ogni n> 1...
Come si prosegue ?
$ 2^n + 4^n < 5^n $ si dimostri per induzione che è vera per ogni $ n>1 $
come base di induzione pongo n=2. Verifico :
$ 2^2 + 4^2 < 5^2 = 20 < 25 $ vero.
a questo punto provo a dimostrare che è vera per ogni n+1.
$ 2^(n+1) + 4^(n+1) < 5^(n+1) = 2^n * 2 + 4^n *4 < 5^n * 5 $
però mi sono reso conto che la mia strada non mi porta a niente.
Volevo poter scrivere in maniera da riportarla uguale al primo membro dell'ipotesi ma non credo sia possibile. In più il problema è che come l'ho scritta io $ 2^1 + 4^1 < 5^1 $ è falsa, perchè vale (come da traccia ) per ogni n> 1...
Come si prosegue ?
Risposte
ci provo
il problema è equivalente a provare che $AA n>1 : 5^n>2^n+4^n$
Per $n=2 : 5^2=25>20$ vera.
Supponiamo vero $P_n$ e deduciamo $P_(n+1)$
Si ha che $5^(n+1)=5^n5>$ (per ipotesi induttiva) $5(2^n+4^n)>4(2^n+4^n)>22^(n+1)+4^(n+1)=2^(n+1)+2^(n+1)+4^(n+1) > 2^(n+1)+4^(n+1)$ la tesi. Che ne dici?
il problema è equivalente a provare che $AA n>1 : 5^n>2^n+4^n$
Per $n=2 : 5^2=25>20$ vera.
Supponiamo vero $P_n$ e deduciamo $P_(n+1)$
Si ha che $5^(n+1)=5^n5>$ (per ipotesi induttiva) $5(2^n+4^n)>4(2^n+4^n)>22^(n+1)+4^(n+1)=2^(n+1)+2^(n+1)+4^(n+1) > 2^(n+1)+4^(n+1)$ la tesi. Che ne dici?
Per $n=1$ come hai scritto tu $5>2+4=6$, ma non è vero.
si infatti, 1 è escluso. (ho corretto, scusate)
Scusami, noti pecche nella mia risoluzione? se è così, fammelo notare.
Scusami, noti pecche nella mia risoluzione? se è così, fammelo notare.
Potresti commentarmi i vari passaggi ?!? Non ho ben capito
Si ha che$ 5n+1=5n5>$ (per ipotesi induttiva)$ 5(2n+4n)>$... e non avendo capito questo, non ho capito il resto ovviamente .
Mbho non capisco perchè porti $(2n+4n)$ al primo membro e poi fai$ > 4(2^n+4^n)$ ?!? Potresti commentare?
Inoltre come fa a diventare$ 2* 2^(n+1)+4^(n+1)=2^(n+1)+2^(n+1)+4^(n+1)$ ?!?
Potresti aggiungere anche il commento ?
Grazie mille in anticipo!
Si ha che$ 5n+1=5n5>$ (per ipotesi induttiva)$ 5(2n+4n)>$... e non avendo capito questo, non ho capito il resto ovviamente .
Mbho non capisco perchè porti $(2n+4n)$ al primo membro e poi fai$ > 4(2^n+4^n)$ ?!? Potresti commentare?
Inoltre come fa a diventare$ 2* 2^(n+1)+4^(n+1)=2^(n+1)+2^(n+1)+4^(n+1)$ ?!?
Potresti aggiungere anche il commento ?
Grazie mille in anticipo!
$5^(n+1)=5^n*5$ (per le proprietà delle potenze.
$5*5^n>5(2^n+4^n)$ per ipotesi induttiva. (infatti tu hai supposto vero che $5^n>2^n+4^n$ )
Ora non obbietterai che
$5(2^n+4^n)>4(2^n+4^n)$
Per la proprietà distributiva
$4(2^n+4^n)=4*2^n+4*4^n =2*2^(n+1)+4^(n+1)$
da cui
$5^(n+1)> 2*2^(n+1)+4^(n+1) $
Ora non obbietterai che $2*2^(n+1)+4^(n+1)=2^(n+1)+2^(n+1)+4^(n+1) > 2^(n+1)+4^(n+1)$ .
Pertanto :
$5^(n+1)> 2*2^(n+1)+4^(n+1)=2^(n+1)+2^(n+1)+4^(n+1) > 2^(n+1)+4^(n+1) => 5^(n+1)>2^(n+1)+4^(n+1)$. La tesi.
$5*5^n>5(2^n+4^n)$ per ipotesi induttiva. (infatti tu hai supposto vero che $5^n>2^n+4^n$ )
Ora non obbietterai che
$5(2^n+4^n)>4(2^n+4^n)$
Per la proprietà distributiva
$4(2^n+4^n)=4*2^n+4*4^n =2*2^(n+1)+4^(n+1)$
da cui
$5^(n+1)> 2*2^(n+1)+4^(n+1) $
Ora non obbietterai che $2*2^(n+1)+4^(n+1)=2^(n+1)+2^(n+1)+4^(n+1) > 2^(n+1)+4^(n+1)$ .
Pertanto :
$5^(n+1)> 2*2^(n+1)+4^(n+1)=2^(n+1)+2^(n+1)+4^(n+1) > 2^(n+1)+4^(n+1) => 5^(n+1)>2^(n+1)+4^(n+1)$. La tesi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo