Dimostrazione per assurdo
Ragazzi,io proprio non capisco la logica delle dimostrazioni per assurdo, esempio semplice preso da wiki
"non esiste un numero razionale minimo tra quelli maggiori di zero". In una dimostrazione per assurdo, cominceremmo a supporre l'opposto: che esiste un numero razionale positivo minimo, diciamo, r0.Adesso poniamo x = r0/2. Risulta che x è un numero razionale, ed è maggiore di zero; e x è minore di r0. Ma questo è assurdo — contraddice la nostra ipotesi iniziale."
MA CERTO CHE È ASSURDO RISPETTO ALL IPOTESI INIZIALE HAI CAMBIATO L'IPOTESI PRIMA DI INIZIARE
io non capisco
"non esiste un numero razionale minimo tra quelli maggiori di zero". In una dimostrazione per assurdo, cominceremmo a supporre l'opposto: che esiste un numero razionale positivo minimo, diciamo, r0.Adesso poniamo x = r0/2. Risulta che x è un numero razionale, ed è maggiore di zero; e x è minore di r0. Ma questo è assurdo — contraddice la nostra ipotesi iniziale."
MA CERTO CHE È ASSURDO RISPETTO ALL IPOTESI INIZIALE HAI CAMBIATO L'IPOTESI PRIMA DI INIZIARE
io non capisco
Risposte
Non cambiano le ipotesi, ma si nega la tesi e si procede... se si arriva ad un assurdo allora vuol dire che si è commesso un errore a negare la tesi.
Ma l'assurdo non è più assurdo rispetto alla tesi negata
, che è quella da cui sei partito per ottenere la tesi che chiami assurda,
, che è quella da cui sei partito per ottenere la tesi che chiami assurda,
Ti faccio un esempio forse più significativo:
Supponiamo di avere un $x>0$ (ipotesi): vogliamo dimostrare che $1/x>0$ (tesi).
Supponiamo per assurdo che $1/x<0$ (nego la tesi), allora posso moltiplicare per un numero $x>0$ ottenendo:
$1/x * x < 0*x$
$1<0$
Che è assurdo! Abbiamo fatto tutti passaggi leciti, dunque l'errore è stato supporre che $1/x<0$.
Supponiamo di avere un $x>0$ (ipotesi): vogliamo dimostrare che $1/x>0$ (tesi).
Supponiamo per assurdo che $1/x<0$ (nego la tesi), allora posso moltiplicare per un numero $x>0$ ottenendo:
$1/x * x < 0*x$
$1<0$
Che è assurdo! Abbiamo fatto tutti passaggi leciti, dunque l'errore è stato supporre che $1/x<0$.
Oppure meglio ancora quest'altra:
Vogliamo dimostrare che $1>0$.
Neghiamo la tesi (dunque $1<0$) e supponiamo di avere un $x>0$; allora è lecito fare
$1*x<0*x$
$x<0$
Che è assurdo perché per ipotesi $x>0$.
Vogliamo dimostrare che $1>0$.
Neghiamo la tesi (dunque $1<0$) e supponiamo di avere un $x>0$; allora è lecito fare
$1*x<0*x$
$x<0$
Che è assurdo perché per ipotesi $x>0$.
non so io continuo a non capire
se x=1 allora 2x=2
voglio dimostrarlo per assurdo:
se 2x diverso da 2 allora x è diverso da 1
ma è in contraddizione con quello che ho detto all' inizio perché ho detto che x =1.....
ma certo che x = 1 è in contraddizione con x diverso da 1, prima avevo 2x=2 e adesso ho 2x diverso da 2....
a me sembra solo di scoprire l'acqua calda con sto teorema
se x=1 allora 2x=2
voglio dimostrarlo per assurdo:
se 2x diverso da 2 allora x è diverso da 1
ma è in contraddizione con quello che ho detto all' inizio perché ho detto che x =1.....
ma certo che x = 1 è in contraddizione con x diverso da 1, prima avevo 2x=2 e adesso ho 2x diverso da 2....
a me sembra solo di scoprire l'acqua calda con sto teorema
È questo il punto, ottieni qualcosa che è in contraddizione con quello che hai detto all'inizio!
Allora per ipotesi abbiamo che $x=1$ e vogliamo dimostrare che $2x=2$.
Le ipotesi non le neghiamo (anzi non possiamo toccarle perché sono il punto di partenza), ma neghiamo la tesi, ovvero supponiamo che $2x$ non sia uguale a $2$, quindi $2x!=2$.
Allora posso benissimo dividere per due, nessuno me lo vieta! Così facendo otteniamo $x!=1$... c'è qualcosa che non va... dividere per $2$ è una cosa lecita quindi non può essere questo l'errore... allora ciò vuol dire che l'unico errore che abbiamo fatto è stato quello di supporre che fosse falso che $2x!=2$! Dunque abbiamo dimostrato che con queste ipotesi, ovvero $x=1$, allora $2x=2$.
Non è scoprire l'acqua calda come dici tu, è una cosa molto più sottile!
Allora per ipotesi abbiamo che $x=1$ e vogliamo dimostrare che $2x=2$.
Le ipotesi non le neghiamo (anzi non possiamo toccarle perché sono il punto di partenza), ma neghiamo la tesi, ovvero supponiamo che $2x$ non sia uguale a $2$, quindi $2x!=2$.
Allora posso benissimo dividere per due, nessuno me lo vieta! Così facendo otteniamo $x!=1$... c'è qualcosa che non va... dividere per $2$ è una cosa lecita quindi non può essere questo l'errore... allora ciò vuol dire che l'unico errore che abbiamo fatto è stato quello di supporre che fosse falso che $2x!=2$! Dunque abbiamo dimostrato che con queste ipotesi, ovvero $x=1$, allora $2x=2$.
Non è scoprire l'acqua calda come dici tu, è una cosa molto più sottile!
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaah ma che cosa carina 
Ti sembra di scoprire l'acqua calda perché si tratta di esempi molto elementari.
Fondamentalmente qualsiasi dimostrazione matematica può essere fatta anche per assurdo, ma in questi esempi la versione "standard" è ancora più banale della versione "per assurdo", e di certo non ne sottolineano l'utilità.
Altri risultati sono più facili procedendo p.a., come la classica dimostrazione che i numeri primi sono infiniti.
Suppongo per assurdo che
$(*)$ i numeri primi (cioè divisi soltanto da $1$ e se stessi) sono una quantità finita.
Allora chiamiamo questa quantità $n$, e facciamo il prodotto di tutti gli $n$ numeri primi. A questo prodotto aggiungiamo $1$, ottenendo il numero
$P = ( p_1 p_2 ... p_n ) +1$
Sappiamo che se un numero non è primo, allora è divisibile per qualche primo. Ma dividendo $P$ per qualsiasi $p_i$ otterremmo sempre resto $1$, quindi $P$ è un numero primo diverso dagli altri $n$ primi. Otteniamo che esistono più di $n$ primi, e questo contraddice ovviamente il fatto che fossero $n$.
La contraddizione evidenzia semplicemente che una "realtà alternativa" in cui $(*)$ sia vera sotto le nostre ipotesi non può esistere, e quindi è vero il contrario.
EDIT: non ho fatto in tempo a vedere che avevate risolto Mi scuso anche per lo spiegone molto poco... rigoroso
Fondamentalmente qualsiasi dimostrazione matematica può essere fatta anche per assurdo, ma in questi esempi la versione "standard" è ancora più banale della versione "per assurdo", e di certo non ne sottolineano l'utilità.
Altri risultati sono più facili procedendo p.a., come la classica dimostrazione che i numeri primi sono infiniti.
Suppongo per assurdo che
$(*)$ i numeri primi (cioè divisi soltanto da $1$ e se stessi) sono una quantità finita.
Allora chiamiamo questa quantità $n$, e facciamo il prodotto di tutti gli $n$ numeri primi. A questo prodotto aggiungiamo $1$, ottenendo il numero
$P = ( p_1 p_2 ... p_n ) +1$
Sappiamo che se un numero non è primo, allora è divisibile per qualche primo. Ma dividendo $P$ per qualsiasi $p_i$ otterremmo sempre resto $1$, quindi $P$ è un numero primo diverso dagli altri $n$ primi. Otteniamo che esistono più di $n$ primi, e questo contraddice ovviamente il fatto che fossero $n$.
La contraddizione evidenzia semplicemente che una "realtà alternativa" in cui $(*)$ sia vera sotto le nostre ipotesi non può esistere, e quindi è vero il contrario.
EDIT: non ho fatto in tempo a vedere che avevate risolto
Mi scuso anche per lo spiegone molto poco... rigoroso
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