Dimostrazione numero di sottoinsiemi possibili

[Edex1]

Salve ragazzi, oggi sono incappato in questa dimostrazione:
Dimostrare che il numero di sottoinsiemi possibile di un insieme A di n elementi vale $2^n$

Io ho ragionato così:
partendo dal presupposto che il numero di gruppi di $k$ elementi, partendo da un insieme di $n$ elementi si calcola con il coefficiente binomiale $((n) ,(i)) $ ho dedotto che il numero di sottoinsiemi possibili sarebbe stato uguale a:
$sum_{i=0}^n ((n) ,(i))$

Sapendo però anche che:
$(a+b)^n = sum_{i=0}^n ((n) ,(i)) *a^i*b^(n-i)$

Ho dedotto che per ottenere la somma dei soli coefficienti avrei dovuto porre $a=b=1$, ottenendo così quindi:
$sum_{i=0}^n ((n) ,(i)) = 2^n$

Va bene come distrazione secondo voi?

[milizia96]

Direi che va bene! Ma ci sono una marea di modi per fare questo esercizio, un altro è considerare che, ogni volta che costruisci un sottoinsieme, per ogni elemento dell'insieme A hai due possibilità: prenderlo oppure no.
Tieni conto che, ad ogni possibile modo di fare tutte le $n$ scelte, corrisponde uno e un solo sottoinsieme.
Quindi hai $n$ elementi, per ognuno di essi due possibilità: viene da se che il numero totale di scelte diverse che puoi fare (e il numero di sottoinsiemi) è uguale a $2^n$