Dimostrazione M.C.D. (d e -d)

UBun
Salve a tutti, è la prima volta che posto su questo forum, quindi spero mi perdoniate la domanda stupidissima che sto per porvi.. :P
Vorrei sapere in che modo svolgere la seguente dimostrazione sul Massimo Comune Divisore...

Dati due interi a e b non entrambi nulli. Un intero d che verifica queste due condizioni:
1) d|a , d|b
2) Vd'€Z (d'|a , d'|b ----> d'|d)

è per definizione un massimo comune divisore tra a e b.
PROPRIETA': Se d è un massimo comune divisore tra a e b allora l'unico altro massimo comune divisore tra a e b è -d.


Vorrei dimostrare l'ultima proprietà..

Grazie in anticipo a tutti! :)

Risposte
perplesso1
Ciao benvenuto,
da regolamento dovresti postare i tuoi tentativi di dimostrazione o comunque le tue idee, ma essendo il tuo primo post sei perdonato :-D Innanzitutto devi dimostrare che $ -d $ è un massimo comun divisore. Come? Applica la definizione ! Poi ti do un indizio, sappi che se $ m $ e $ n $ sono due numeri interi che si dividono mutuamente cioè tali che $ m|n $ e $ n|m $ allora $ m= \pm n $ Pensaci un pò, è facile! :D

gundamrx91-votailprof
La dimostrazione la puoi "vedere" anche tramite l'identità di Bèzout.


perplesso1
Ma non è un pò troppo scomodare l'identità di Bezout per una banalità? :D

Comunque non mi è chiaro qualche passaggio



Grazie per i chiarimenti. :D

gundamrx91-votailprof
"perplesso":
Ma non è un pò troppo scomodare l'identità di Bezout per una banalità? :D


In effetti ho avuto anche io le stesse perplessità, ma non ho più avuto modo di chiedere chiarimenti a chi mi aveva
fornito gli appunti di tale.... "visione" :-D
Comunque da quello che ho capito (se ho capito bene :lol: ) è solo una parte di Bèzout che serve per dimostrare l'esistenza del MCD.

"perplesso":

Comunque non mi è chiaro qualche passaggio


Questo lo dovresti motivare, cosa mi impedisce di pensare che sia $ D=cZ $ per un qualsiasi altro $ c $ divisore comune di $ a $ e $ b $ ? Insomma dove sta scritto che $ D $ deve coincidere proprio con il sottogruppo dei multipli di $ d $ ?

Si può motivare dal fatto che per il principio del buon ordinamento $D$ ammette minimo, e tale minimo è proprio $d$ che è nella forma $ax_0+by_0$ per $x_0,y_0 in ZZ$


da cui
$ar+bs=d -> kcr+hcs=d -> c(kr+hs)=d => c|d$
come da definizione di massimo comune divisore.

Se sei arrivato di nuovo alla definizione di mcd che gia conoscevamo a che cosa è servito tutto questo giro? Bastava dire $ c $ divide $ d $ per definizione. Anzi aspetta mi dai la tua definizione di mcd ? Perchè altrimenti non capisco il senso di tutta l'operazione

Hai ragione, anche perchè la dimostrazione di Bèzout ha come ipotesi il $MCD(a,b)$ :-D , quindi non ha molto senso.
Forse ho fatto male a riportare questa dimostrazione.... :roll:

@Ubun: è meglio se non ne tieni conto.


Grazie per i chiarimenti. :D[/quote]

UBun
"GundamRX91":
[quote="perplesso"]Ma non è un pò troppo scomodare l'identità di Bezout per una banalità? :D


In effetti ho avuto anche io le stesse perplessità, ma non ho più avuto modo di chiedere chiarimenti a chi mi aveva
fornito gli appunti di tale.... "visione" :-D
Comunque da quello che ho capito (se ho capito bene :lol: ) è solo una parte di Bèzout che serve per dimostrare l'esistenza del MCD.

"perplesso":

Comunque non mi è chiaro qualche passaggio


Questo lo dovresti motivare, cosa mi impedisce di pensare che sia $ D=cZ $ per un qualsiasi altro $ c $ divisore comune di $ a $ e $ b $ ? Insomma dove sta scritto che $ D $ deve coincidere proprio con il sottogruppo dei multipli di $ d $ ?

Si può motivare dal fatto che per il principio del buon ordinamento $D$ ammette minimo, e tale minimo è proprio $d$ che è nella forma $ax_0+by_0$ per $x_0,y_0 in ZZ$


da cui
$ar+bs=d -> kcr+hcs=d -> c(kr+hs)=d => c|d$
come da definizione di massimo comune divisore.

Se sei arrivato di nuovo alla definizione di mcd che gia conoscevamo a che cosa è servito tutto questo giro? Bastava dire $ c $ divide $ d $ per definizione. Anzi aspetta mi dai la tua definizione di mcd ? Perchè altrimenti non capisco il senso di tutta l'operazione

Hai ragione, anche perchè la dimostrazione di Bèzout ha come ipotesi il $MCD(a,b)$ :-D , quindi non ha molto senso.
Forse ho fatto male a riportare questa dimostrazione.... :roll:

@Ubun: è meglio se non ne tieni conto.


Grazie per i chiarimenti. :D[/quote][/quote]

Ho provato a cercare di capire un po', ma purtroppo mi sono confuso ancor di più! :|
Grazie comunque per l'impegno! :)

"perplesso":
Ciao benvenuto,
da regolamento dovresti postare i tuoi tentativi di dimostrazione o comunque le tue idee, ma essendo il tuo primo post sei perdonato :-D Innanzitutto devi dimostrare che $ -d $ è un massimo comun divisore. Come? Applica la definizione ! Poi ti do un indizio, sappi che se $ m $ e $ n $ sono due numeri interi che si dividono mutuamente cioè tali che $ m|n $ e $ n|m $ allora $ m= \pm n $ Pensaci un pò, è facile! :D


Quindi provo a dimostrare il tutto applicando la definizione e aggiungendo alla fine l'equivalenza $ m= \pm n $, giustificandola con se $ m $ e $ n $ tali che $ m|n $ e $ n|m $?