Dimostrazione isomorfismo gruppi unità

[7ania92]

Qualcuno può darmi un'idea su come dimostrare questo esercizio?
"Dati due anelli $(A_1,+,.) (A_2,+,.)$ entrambi unitari e dato $psi:A_1->A_2$ isomorfismo, dimostrare che $psi(U(A_1))=U(A_2)$ e che $psi$ induce per restrizione un isomorfismo di gruppi $psi':U(A_1)->U(A_2)$.(con $U(A_1),U(A_2)$ gruppi delle unità rispettivamente di $A_1$ e $A_2$)
Grazie !

[killing_buddha]

E' facile e puoi vederlo in molti modi. In effetti, quel che e' sempre vero e' che un omomorfismo di anelli $\psi : R\to S$ ne induce uno tra i gruppi delle unita' degli anelli (essenzialmente la ragione e' che per ogni morfismo di semigruppi un invertibile deve andare in un invertibile: $1=\psi(1)=\psi(a \cdot a^{-1})=\psi(a)\cdot \psi(a^{-1})$ e analogamente $\psi(a^{-1})\psi(a)=1$. A questo punto si invoca il teorema dalla dimostrazione piu' breve in assoluto (l'inverso di un elemento, quando esiste, e' unico) e si conclude che $\psi(a^{-1})=\psi(a)^{-1}$. []

Ora: se partivi da un isomorfismo, in particolare avevi una biiezione. E una biiezione tra insiemi ne induce una ristretta a qualsiasi sottoinsieme; unisci questo al fatto che $\psi(U(R))\subseteq U(S)$ e concludi. []

[7ania92]

Ok grazie