Dimostrazione isomorfismo

[ifra.1]

Buongiorno a tutti!
Mi sapreste dare delle indicazioni su come si possa dimostrare che l'anello quoziente $ZZ$/$(1+i)$ è isomorfo a $ZZ_2$ .
Vi ringrazio!

[rubik2]

osseva che $ZZ//(i+1)=ZZ[x]//(x^2+1,x+1)$ basta fare i quozienti in ordine inverso prima $ZZ[x]//(x+1)=ZZ$ con la mappa che manda $x->-1$ quindi l'elemento $x^2+1->2$ e ottieni $ZZ//(2)$ come secondo quoziente

[ifra.1]

oddio...a dir la verità non ti seguo molto, già dalla prima osservazione...scusami.

[rubik2]

Un teorema di isomorfismo tra anelli afferma:sia $R$ un anello e $H,J$ due ideali tali che $H sub J$ allora

$(R//H)//(J//H)=R//J$.

Se hai un anello $R$ e due ideali principali $(f)$ e $(g)$ e vuoi fare $R//(f,g)$ puoi fare per il teorema di isomorfismo $(R//(f))$ e poi quozientare di nuovo per $(f,g)//(f)=(g)//(f)$ o viceversa.

come definisci $ZZ$? secondo me proprio come $ZZ[x]//(x^2+1)$ e $i=[x]$ (i è la classe di x) se non lo definisci così e non ti è chiara l'uguaglianza cerca un isomorfismo esplicito, non è difficile.

accettando il fatto che $ZZ=ZZ[x]//(x^2+1)$ devi chiederti chi è $(i+1)$ e siccome $i=[x]$ ottieni che $(i+1)$ "visto" in $ZZ[x]//(x^2+1)$ è $(x+1)$, poi devi applicare il teorema di isomorfismo.

Spero sia un po' più chiaro. Ciao

un'altra strada può essere trovare un omomorfismo di anelli $phi:ZZ->ZZ_2$ che ha come nucleo esattamente $(i+1)$ e potresti concludere per il primo teorema di isomorfismo.

[ifra.1]

Grazie mille!Ora rivedo tutto con calma...per ora mi sfugge la "definizione di $ZZ$ ma ci penso un po'...
ciao!