Dimostrazione intersezioni arbitrarie
Mi sono imbattuto in un quesito molto semplice di algebra però che mi crea alcuni dubbi ed essendo abbastanza di base vorrei capirlo bene.
Ho $A_n:=[-n,n]={r in RR:-n<=r<=n}$ si chiede di individuare l'intersezione su $n in NN$ di $∩A_n$ (non so scriverla bene, si intende come intersezione arbitraria su n insiemi)
Penso di dover mostrare con la doppia inclusione, intuitivamente mi verrebbe da dire nei confronti dell'insieme {0}
Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi come dimostrarlo in modo formale, non riesco proprio
Vi ringrazio.
Ho $A_n:=[-n,n]={r in RR:-n<=r<=n}$ si chiede di individuare l'intersezione su $n in NN$ di $∩A_n$ (non so scriverla bene, si intende come intersezione arbitraria su n insiemi)
Penso di dover mostrare con la doppia inclusione, intuitivamente mi verrebbe da dire nei confronti dell'insieme {0}
Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi come dimostrarlo in modo formale, non riesco proprio
Vi ringrazio.
Risposte
@ fulcanelli: Sì, effettivamente è molto poco intelligente 
Ok appurato questo (n in R): graficamente ci siamo, però mi sembra una spiegazione solo intuitiva "per ogni due punti passa una retta. L'origine è un punto e ogni altro punto del piano sta su una ben definita retta passante per lui e per l'origine". Ma a livello formale/con definizioni e equazioni come diamine lo mostro?
PS: @G.D: hai ragione, ho sbagliato! Diciamo tutto il piano escluso l'asse y.
Ok appurato questo (n in R): graficamente ci siamo, però mi sembra una spiegazione solo intuitiva "per ogni due punti passa una retta. L'origine è un punto e ogni altro punto del piano sta su una ben definita retta passante per lui e per l'origine". Ma a livello formale/con definizioni e equazioni come diamine lo mostro?
PS: @G.D: hai ragione, ho sbagliato! Diciamo tutto il piano escluso l'asse y.
Prova a dimostrare le reciproche inclusioni.
Esatto la mia idea era proprio quella: perseguire la via della doppia inclusione , se ti va partiamo dal primo esercizio, poi ragioniamo sul secondo 
Come detto $n in RR$
Ora:
L'insieme dovrebbe essere $R^2-({(0,y)} ∧ y!=0)$ in quanto l'origine (0,0) è inclusa nell'unione delle rette a livello grafico,devo solo escludere il resto dell'asse y.
$∪A_n⊆R^2-({(0,y)} ∧ y!=0)$ sicuramente in quanto deriva dalla definizione di $A_n$ che sono le coppie $(x,nx)$ con x nei reali, n nei reali e quindi nx prodotto di reali è un reale. Sicché abiamo che anche l'unione di tali coppie sta in $ RR^2-({(0,y)} ∧ y!=0)$. in particolare se n=0 ho la dupla (0,0) se invece n qualunque ho per x=0 (0,0), non ho mai (0,y) e sono salvo.
Manca l'altra inclusione: $RR^2-({(0,y)}, y!=0)⊆ ∪A_n$?
Ossia $(x,y) in RR^2-({(0,y)} ∧ y!=0) => (x,y) in ∪A_n$, ma questo è vero poiché
Per ogni (x,y) del tipo $x in RR, y in RR$ posso trovare (x,nx) infatti basta avere y=nx e questo si ha, prendendo $y/n=x$.
Il punto è che non mi piace molto come l'ho resa perché c'è quella eccezione (0,y) che non mi convince e non so come formalizzare meglio la faccenda. Tu come faresti?
Se hai\avete voglia di bacchettarmi per errori e scempi te ne sono grato; leggerò con attenzione
Come detto $n in RR$
Ora:
L'insieme dovrebbe essere $R^2-({(0,y)} ∧ y!=0)$ in quanto l'origine (0,0) è inclusa nell'unione delle rette a livello grafico,devo solo escludere il resto dell'asse y.
$∪A_n⊆R^2-({(0,y)} ∧ y!=0)$ sicuramente in quanto deriva dalla definizione di $A_n$ che sono le coppie $(x,nx)$ con x nei reali, n nei reali e quindi nx prodotto di reali è un reale. Sicché abiamo che anche l'unione di tali coppie sta in $ RR^2-({(0,y)} ∧ y!=0)$. in particolare se n=0 ho la dupla (0,0) se invece n qualunque ho per x=0 (0,0), non ho mai (0,y) e sono salvo.
Manca l'altra inclusione: $RR^2-({(0,y)}, y!=0)⊆ ∪A_n$?
Ossia $(x,y) in RR^2-({(0,y)} ∧ y!=0) => (x,y) in ∪A_n$, ma questo è vero poiché
Per ogni (x,y) del tipo $x in RR, y in RR$ posso trovare (x,nx) infatti basta avere y=nx e questo si ha, prendendo $y/n=x$.
Il punto è che non mi piace molto come l'ho resa perché c'è quella eccezione (0,y) che non mi convince e non so come formalizzare meglio la faccenda. Tu come faresti?
Se hai\avete voglia di bacchettarmi per errori e scempi te ne sono grato; leggerò con attenzione
"moenia":
L'insieme dovrebbe essere $R^2-({(0,y)} ∧ y!=0)$ in quanto l'origine (0,0) è inclusa nell'unione delle rette a livello grafico,devo solo escludere il resto dell'asse y.
Ciò che c'è tra parentesi tonde, scritto così come l'hai scritto, non è un insieme. Andrebbe scritto così: \(\mathbb{R}^2 - \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = 0 \land y \ne 0 \}\)
Poiché \(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = 0 \land y \ne 0\} \subseteq \mathbb{R}^2\), allora l'insieme differenza di cui sopra è semplicemente il complementare in \(\mathbb{R}^2\) di \(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = 0 \land y \ne 0\}\), i.e. \(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \ne 0 \lor y = 0\}\).
Per quanto riguarda la dimostrazione dell'inclusione, essa è corretta. Se proprio vuoi spendere qualche parola in più a beneficio di chiarezza, potresti fare così.
Riscritto l'insieme differenza come sopra mostrato, occorre provare che vale l'inclusione
\[
\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \ne 0 \lor y = 0\} \subseteq \bigcup_{n \in \mathbb{R}} A_n \tag{1}
\]
dove
\[
\bigcup_{n \in \mathbb{R}} A_n = \{z \mid \exists n \in \mathbb{R} : z \in A_n\} \tag{2}
\]
Poiché tutti gli insiemi \(A_n\) sono sottoinsiemi di \(\mathbb{R}^2\) e poiché sono tutti individuati da una relazione tra \(x\) e \(y\) che dipende da \(n\), l'insieme di cui in \((2)\) si può riscrivere così:
\[
\bigcup_{n \in \mathbb{R}} A_n = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid \exists n \in \mathbb{R} : y = nx \}
\]
sicché provare che vale l'inclusione \((1)\) significa provare che
\[
\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, ((x \ne 0 \lor y = 0) \to \exists n \in \mathbb{R} : y = nx) \tag{3}
\]
E allora:
[*:5ii3cqz3] se \(x \ne 0\), allora è definito \(\displaystyle \frac{y}{x}\) qualunque sia \(y \in \mathbb{R}\) e per qualunque coppia \((x,y)\) con \(x \ne 0\) basta prendere \(\displaystyle n = \frac{y}{n}\) perché sia \(y = nx\);[/*:m:5ii3cqz3]
[*:5ii3cqz3] se \(y = 0\), allora qualunque sia \(x \in \mathbb{R}\) si ha \(0 = 0x\), sicché basta prendere \(n = 0\) per qualunque coppia \((x,y)\) con \(y = 0\) perché sia \(y = nx\).[/*:m:5ii3cqz3][/list:u:5ii3cqz3]
Quindi vale \((3)\) e l'inclusione è provata.
Wow grazie mille, è bellissima così. Devo cercare di imparare a dimostrare così
Direi che a questo punto si può passare al secondo e ultimo: anche qui ho diversi dubbi che scrivevo e riporto per semplicità di lettura
Direi che a questo punto si può passare al secondo e ultimo: anche qui ho diversi dubbi che scrivevo e riporto per semplicità di lettura
Per quanto riguarda il secondo esercizio:
- per la richiesta sugli indici nei naturali dovrebbe essere l'intersezione sempre {0,0} e l'unione non sono più tutti i punti del I e III quadrante poich é n è ora nei naturali.
-per gli indici negli interi relativi dovrei avere sempre {0,0} per l'intersezione e stesso dubbio di prima per l'unione.
OK: passiamo al secondo.
È allora data la famiglia di insiemi \[A_n = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid nx \le y < (n+1)x\}\] con insieme degli indici \(\mathbb{N}\).
Suggerimento: prendi un foglio di carta e due penne, una di un colore e una di un altro, traccia gli assi cartesiani, scegli un \(n \in \mathbb{N}\), traccia le rette \(y = nx\) e \(y = (n+1)x\), quindi trova le \(y\) che rispettano la diseguaglianza \(nx \le y < (n+1)x\), il che significa trovare prima le \(y\) per le quali \(nx \le y\), poi le \(y\) per le quali \(y < (n+1)x\) e quindi sovrapporle (ecco perché ho suggerito due penne di due colori diversi). Magari potresti iniziare con \(n = 1\). Cosa ne viene fuori?
P.S.
Prima o poi il servizio di hosting di immagini che hai scelto per caricare lo screenshot della traccia dell'esercizio cancellerà l'immagine che hai caricato e quindi qui pubblicato, per tale ragione è consigliabile ricorrere il meno possibile all'upload delle immagini, soprattutto quando queste sono screenshot di tracce e soluzioni.
È allora data la famiglia di insiemi \[A_n = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid nx \le y < (n+1)x\}\] con insieme degli indici \(\mathbb{N}\).
Suggerimento: prendi un foglio di carta e due penne, una di un colore e una di un altro, traccia gli assi cartesiani, scegli un \(n \in \mathbb{N}\), traccia le rette \(y = nx\) e \(y = (n+1)x\), quindi trova le \(y\) che rispettano la diseguaglianza \(nx \le y < (n+1)x\), il che significa trovare prima le \(y\) per le quali \(nx \le y\), poi le \(y\) per le quali \(y < (n+1)x\) e quindi sovrapporle (ecco perché ho suggerito due penne di due colori diversi). Magari potresti iniziare con \(n = 1\). Cosa ne viene fuori?
P.S.
Prima o poi il servizio di hosting di immagini che hai scelto per caricare lo screenshot della traccia dell'esercizio cancellerà l'immagine che hai caricato e quindi qui pubblicato, per tale ragione è consigliabile ricorrere il meno possibile all'upload delle immagini, soprattutto quando queste sono screenshot di tracce e soluzioni.
Prima o poi il servizio di hosting di immagini che hai scelto per caricare lo screenshot della traccia dell'esercizio cancellerà l'immagine che hai caricato e quindi qui pubblicato, per tale ragione è consigliabile ricorrere il meno possibile all'upload delle immagini, soprattutto quando queste sono screenshot di tracce e soluzioni.
Ah caspita non lo sapevo. Grazie per avermelo detto, allora d'ra in poi userò il meno possibili le pic a meno di dover fare disegni utili e indescrivibili a parole, è un peccato lasciare monche certe discussioni, io stesso ho usufruito di molte belle risposte del passato.
OK: passiamo al secondo.
È allora data la famiglia di insiemi \[A_n = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid nx \le y < (n+1)x\}\] con insieme degli indici \(\mathbb{N}\).
Suggerimento: prendi un foglio di carta e due penne, una di un colore e una di un altro, traccia gli assi cartesiani, scegli un \(n \in \mathbb{N}\), traccia le rette \(y = nx\) e \(y = (n+1)x\), quindi trova le \(y\) che rispettano la diseguaglianza \(nx \le y < (n+1)x\), il che significa trovare prima le \(y\) per le quali \(nx \le y\), poi le \(y\) per le quali \(y < (n+1)x\) e quindi sovrapporle (ecco perché ho suggerito due penne di due colori diversi). Magari potresti iniziare con \(n = 1\). Cosa ne viene fuori?
Allora, ho rifatto il disegno e la mia idea è che trovo il luogo geometrico dei punti tra le due rette ci coeff. angolare $n$ ed $n+1$ con $y=(n+1)x esclusa$.
Variando n ovviemante dovrei avere $y=(n+1)x$ inclusa e rimarrà esclusa $y=((n+1)+1)x$.
Insomma con n nei naturali direi che ho il fascio di rette da quella parallela ad x con n=0 fino a y di nuovo esclusa come unione.
Poiché non ho sovrapposizioni l'intersezione dire che è solo la coppia $(0,0)$.
Per n negli interi cambia poco solo che ho il fascio completo come unione (ad eccezione di y) e intersezione mi darebbe di nuovo solo l'origine.
Ora: il dubbio è come posso rendere i due insiemi unione ed intersezione (insieme di un solo punto) e mostrare la solita cara e bella doppia inclusione
Buon lnedì per intanto
.
Per \(n \in \mathbb{N}\) le rette \(y = nx\) e \(y = (n+1)x\) sono rette che passano per dove? E in quali quadranti giaciono? Per ogni fissato \(n\), il luogo dei punti compresi tra le rette \(y=nx\) e \(y = (n+1)x\), cos'è? In quale quadrante si trova?
Per \(n \in \mathbb{N}\) le rette \(y = nx\) e \(y = (n+1)x\) sono rette che passano per dove? E in quali quadranti giaciono?
Sono due rette passanti per l'origine dove quella con coefficiente angolare maggiore ha maggior pendenza (sta sopra quella con n). Nei naturali n, giacciono nel I e III quadrante.
Mi accorgo però di aver detto una cavolata immensa prima, in modo corretto: prendendo la disuguaglianza che caratterizza l'insieme dovrei avere tutti i punti del piano tra queste due rette nel I e III quadrante, senza includere i punti che giaciono sulla retta $y=(n+1)x$
- Andando ora a intersecare poiché variando n->n+1 avrò il secondo coefficiente che diventa (n+1)+1 non avendo sovrapposizioni di rette. Insomma ho (0,0) come intersezione. [posso qundi fare la doppia inclusione tra insieme intersezione e insieme contenente il solo {(0,0)} (non so però bene come, l'idea è questa)].
- Come unione ho I e III quadrante senza y, con (0,0) comrpeso.
"moenia":
Sono due rette passanti per l'origine dove quella con coefficiente angolare maggiore ha maggior pendenza (sta sopra quella con n). Nei naturali n, giacciono nel I e III quadrante.
Mi accorgo però di aver detto una cavolata immensa prima, in modo corretto: prendendo la disuguaglianza che caratterizza l'insieme dovrei avere tutti i punti del piano tra queste due rette nel I e III quadrante, senza includere i punti che giaciono sulla retta $y=(n+1)x$
Attenzione perché non è esattamente così: sì, sono rette che stanno nel primo e nel terzo quadrate; sì, quella col coefficiente angolare maggiore ha maggiore pendenza ma quella di coefficiente angola \(n+1\) sta sopra quella con coefficiente angolare \(n\) solo nel primo quadrate, nel terzo è il contrario. Da questo segue che il luogo dei punti determinato dalla disuguaglianza \(nx \le y < (n+1)x\) per un fissato \(n\) è...
...quello compreso tra le rette, si in effetti non ho specificato ma il discorso lo facevosolo sul primo; nel III è a parti invertite.
Nel terzo quadrante, siccome le rette \(y = nx\) e \(y = (n + 1)x\) invertono la loro posizione reciproca, la disuguaglianza \(nx \le y < (n + 1)x\) non è soddisfatta da alcun punto. Quindi al variare di \(n \in \mathbb{N}\) si ottengono gli angoli del primo quadrante privati del lato che giace sulla retta di equazione \(y = (n + 1)x\). Sicché intuiamo che \(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n\) è il primo quadrante privo del semiasse positivo delle \(y\). Adesso dimostralo.
P.S.
Attenzione all'origine.
P.S.
Attenzione all'origine.
"G.D.":
sicché provare che vale l'inclusione significa provare che
$∀(x,y)∈R^2,((x≠0∨y=0)→∃n∈R:y=nx)$
Scusate se mi intrometto, trovo molto interessanti le dimostrazioni.
Mi chiedevo se l'altra inclusione si poteva dimostrare, partendo da
$∀(x,y)∈R^2,(∃n∈R:y=nx rarr (x≠0∨y=0)) $
Le due inclusioni si ottengono direttamente da
$∀(x,y)∈R^2,((x≠0∨y=0) harr∃n∈R:y=nx)$
Grazie
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