Dimostrazione intersezioni arbitrarie

[moenia]

Mi sono imbattuto in un quesito molto semplice di algebra però che mi crea alcuni dubbi ed essendo abbastanza di base vorrei capirlo bene.

Ho $A_n:=[-n,n]={r in RR:-n<=r<=n}$ si chiede di individuare l'intersezione su $n in NN$ di $∩A_n$ (non so scriverla bene, si intende come intersezione arbitraria su n insiemi)

Penso di dover mostrare con la doppia inclusione, intuitivamente mi verrebbe da dire nei confronti dell'insieme {0}

Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi come dimostrarlo in modo formale, non riesco proprio

Vi ringrazio.

[ghira1]

La domanda fondamentale qui è "0 è naturale?"

[moenia]

Sì in tal caso è inteso come tale. Hai già anticipato però un mio secondo dubbio che mi sono posto elucubrando su questo esercizietto... poi lo chiedo dopo, ma andiamo per gradi

Insomma: sì, zero incluso!

[ghira1]

"moenia":si intende come intersezione arbitraria su n insiemi

Non direi.

[moenia]

"ghira":Non direi.

Devi sucusarmi, non ho davvero capito l'obiezione. E' il testo dell esercizio che chiede di fare l'intersezione di tutti gli $A_n$ con n indici in $NN$ e dire cosa viene.
Non so scrivere l'intersezione arbitraria in formule sul sito, per quello lho spiegato a parole.

Detto ciò pensavo di mostrare con doppia inclusione nei confronti dell'insieme {0}, ossia mostrare che il singleton zero stia nell'intersezione e viceversa. E qui non riesco a trovare un modo corretto per farlo. La domanda era più che altri questa

[fulcanelli]

Per ogni \(n\), \(A_n \subseteq A_{n+1}\), quindi \(A_0:=\{0\}\) è contenuto in ogni altro \(A_n\), e a questo punto ne deve essere l'intersezione (perché, più in generale, se \(J\) è un insieme parzialmente ordinato che ha un minimo -nel tuo caso, \(\omega\)- ogni funzione monotòna \(f : J \to 2^X\) -nel tuo caso, \(X=\mathbb R\)- è tale che \(f(\min J) = \bigcap_{j\in J} fj\)).

[moenia]

Ti ringrazio per la risposta. Posso gentilmente chiederti solo due coseper chiarirmi meglio la questione?

1)

"fulcanelli":Per ogni \(n\), \(A_n \subseteq A_{n+1}\)

Intuitivamente lo vedo bene, ma formalmente come si dimostra?

Mi sono posto, partendo da quell'esercizio una mia domanda:
2) Invece se avessi $A_n:=(-n,n)={r in RR:-n
SOL:
Ho pensato: intuitivamente tale intersezione è il vuoto quindi..

a) siccome l 'insieme vuoto è contenuto in ogni insieme: $Ø⊆bigcap_{n\in NN} A_n$ è sicuramente vero.

b) resta da dimostrare che $\bigcap_{n\in NN} A_n⊆Ø$ per definizione di inclusione $x\in\bigcap_{n\in NN} A_n=>x\inØ$

Tuttavia qui mi areno perché non so bene come procedere. Forse anche qui c'è un modo più furbo

Grazie di nuovo!

[fulcanelli]

"moenia":Intuitivamente lo vedo bene, ma formalmente come si dimostra?

La disuguaglianza \(-n\le x\le n\) implica la disuguaglianza \(-n-1 \le x \le n+1\).

Mi sono posto, partendo da quell'esercizio una mia domanda:
2) Invece se avessi $A_n:=(-n,n)={r in RR:-n L'intersezione è sempre \(A_0\), per lo stesso motivo; e \(A_0 = \{x\in\mathbb R\mid 0

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[moenia]

"fulcanelli":L'intersezione è sempre \(A_0\), per lo stesso motivo; e \(A_0 = \{x\in\mathbb R\mid 0

Certo quello sì, però volevo capire se il mio modo di procedere potesse funzionare (perché ci avevo pensato prima della tua risposta).

[fulcanelli]

Se la proposizione/proprietà definente un insieme è falsa, quell'insieme è vuoto.

[moenia]

Ok tu dici

b) resta da dimostrare che $\bigcap_{n\in NN} A_n⊆Ø$ per definizione di inclusione $x\in\bigcap_{n\in NN} A_n=>x\inØ$

$ x\inØ$ è sempre falsa. Però il punto che io non so se l'antecedente sia vera o falsa perché a priori dal mio ragionamento non so il valore di verità di $x\in\bigcap_{n\in NN} A_n$. E' questo che mi incasina un po'

[fulcanelli]

Infatti non c'è ragione di farla così complicata; la proprietà universale dell'intersezione \(\bigcap_n A_n\) implica che \(\bigcap A_n \subseteq A_0 = \varnothing\). Fine.

Ora, per quale motivo \(A_0=\varnothing\)? Beh, quanti numeri reali conosci che sono allo stesso tempo minori di zero, e maggiori di zero?

[moenia]

Effettivamente

Molto gentile, ti ringrazio

[axpgn]

Beh, ma non è vuoto, c'è $<=$ quindi lo zero è compreso ...

[moenia]

No si parlava di un secondo esercizio che ho modificato dal primo di apertura

[axpgn]

Ah, sorry.

[moenia]

Vorrei chiedere ancora una mano riguardo altri due esercizi seguenti, in questi due giorni ne ho fatti molti simili per coadiuvare lo studio teorico, ma questi due non capisco proprio come affrontarli in quanto sono del tutto bloccato. Li pongo in questo thread perché sono di natura simile ai precedenti e credo possa essere utile anche per futuri usufruitori/lettori, come capitato a me in altre belle discussioni del sito.

Si hanno:


Sono riuscito solo a capire l'intersezione del primo che viene $ {0,0} $ ma già del primo non so come affrontare l'unione.

L'unica cosa che ho capito intuitivamente è che il primo esercizio per quanto riguarda l'unione dovrebbe essere tutto il piano cartesiano dato dal prodotto cartesiano in essere escluso l'asse delle y.

Per quanto riguarda il secondo esercizio:
- per la richiesta sugli indici nei naturali dovrebbe essere l'intersezione sempre {0,0} e l'unione non sono più tutti i punti del I e III quadrante poich é n è ora nei naturali.
-per gli indici negli interi relativi dovrei avere sempre {0,0} per l'intersezione e stesso dubbio di prima per l'unione.

Ma non capisco proprio come affrontare un tale esercizio, non capisco come farlo a livello formale e non ho davvero idee. Ho davvero bisogno di una mano perché non so come fare a imparare

[fulcanelli]

Fai dei disegni. In particolare

L'unica cosa che ho capito intuitivamente è che il primo esercizio per quanto riguarda l'unione dovrebbe essere tutto il I e III quadrante del piano cartesiano dato dal prodotto cartesiano in essere escluso l'asse delle y.

Questo non è vero, ci sono un sacco di punti nel primo quadrante che non sono nell'unione degli $A_n$. Un modo di vederlo è osservare che l'intersezione del primo quadrante con un quadrato di lato 10 avente un vertice nell'origine ha area 100, laddove invece l'intersezione dello stesso quadrato con \(\bigcup A_n\) ha area zero.

[moenia]

Bene quindi ho già sbagliato anche nell'intuizoione, che genio!

Però non riesco a capire, nel senso che n scorre nei reali, al variare di x ho tutti i punti sulla retta di un dato coefficiente angolare n.
La mia idea è stata se copro densamente con le rette il piano cartesiano dovrei avere il piano, fuorché la retta che è parallela a y (o meglio sovrapposta) in quanto y=nx non la definisce (ed è l'unica non definita da quella equazione come luogo geometrico dei punti).

Credo di non aver ben capito l'esempio del quadrato che proponi, mi sembra molto interessante, ma non ci arrivo. perdonami se te lo faccio rispiegare !

[fulcanelli]

Ah, $n$ appartiene ai reali; quale genio chiama "n" un numero reale !?

Allora no: se $n$ è reale hai ragione, per ogni due punti passa una retta. L'origine è un punto e ogni altro punto del piano sta su una ben definita retta passante per lui e per l'origine.

[G.D.5]

Per quanto riguarda il primo esercizio, perché dall'unione degli \(A_{n}\) escludi il secondo ed il quarto quadrante? Se \(n \in \mathbb{R}\), allora può anche essere negativo.