Dimostrazione induzione

[fabry881]

Ciao a tutti, qualcuno può aiutarmi con questo esercizio?

Dimostrare che per ogni i numero naturale, vale la proprietà $\sum_(i=1)^(x-1) i^2=1/3x^3-1/2x^2+1/6x$

[axpgn]

È una variante della classica somma dei primi $n$ quadrati ... $sum_(i=1)^n i^2=(n(n+1)(2n+1))/6$

Se dimostri questa hai dimostrato quella ... non è difficile ...

[fabry881]

Grazie per aver risposto, allora la proprietà che hai proposto l'ho dimostrata così:

Base: $i=0$
$0^2=0=0/6$

Passo:
assumo $sum_(i=1)^n i^2=(n(n+1)(2n+1))/6$
dimostro $sum_(i=1)^(n+1) i^2=((n+1)(n+2)(2n+3))/6$

$sum_(i=1)^(n+1) i^2=sum_(i=1)^n i^2 + (n+1)^2=(n(n+1)(2n+1))/6+n^2+2n+1=(2n^3+9n^2+13n+6)/6=((n+1)(2n^2+7n+6))/6=((n+1)(n+2)(2n+3))/6$

corretto?
Ho provato a svolgere il mio esercizio in modo analogo:

Base: $i=0$
$0^2=0=1/3*0-1/2*0+1/6*0$

Passo:
assumo $sum_(i=1)^(x-1) i^2=1/3x^3-1/2x^2+1/6x$
dimostro $sum_(i=1)^(x) i^2=1/3(x+1)^3-1/2(x+1)^2+1/6(x+1)$

$sum_(i=1)^(x) i^2= sum_(i=1)^(x-1) i^2 +(x+1)^2=1/3x^3-1/2x^2+1/6x+x^2+2x+1=1/3x^3+1/2x^2+13/6x+1$
ora come devo procedere, ho sbagliato qualcosa?

[axpgn]

Non ho capito perché se $n$ parte da $1$ hai preso come passo base $0$ ... comunque la dimostrazione è corretta, però quando ho detto di usare questa per dimostrare quella non intendevo dire di usare lo stesso metodo ma semplicemente di "togliere" $n^2$ dalla formula così trovata ... ovviamente va benissimo usare lo stesso metodo (e ci mancherebbe altro: è la stessa somma), solamente che è più complicato, soprattutto se non usi lo stesso deniminatore ... per verificare se la formula a cui sei giunto è quella corretta prova a svolgere quella a cui dovresti arrivare ...

Peraltro un errore c'è: l'ultimo termine della sommatoria è $x^2$ non $(x+1)^2$ ...

[fabry881]

Si hai ragione ho fatto un po' di confusione con i valori limite della sommatoria. Ho svolto quella a cui dovrei arrivare e coincidono, grazie per l'aiuto.