Dimostrazione ideale massimale
Dimostrare che $(x^2+1,7)$ è un ideale massimale di $ZZ[x]$.
In realtà è semplice basta mostare che $ZZ[x]_{/(x^2+1,7)}$ è un campo[nota]con il teorema degli omomorfismi si mostra che $ZZ[x]_{/(x^2+1,7)}~=\mathbb{F}_{7}$[/nota] (essendo $ZZ[x]$ un anello commutativo con unità) allora si ha la tesi. Ma stavo cercando un modo più diretto:
Supponiamo che esista un ideale non banale $J$ t.c. $I=(7,x^2+1) \sub J$ allora $J$ contiene 7 quindi almeno un generatore di $J$ è una costante ed è o 1 o 7, se è 1 allora $J=ZZ[x]$ ideale banale e abbiamo finito, se è 7 vuol dire che l'ideale $(x^2+1)$ è contenuto all'interno di un altro ideale non banale, ma questo è assurdo poiché è massimale. Concludiamo che $I$ è massimale.
In realtà è semplice basta mostare che $ZZ[x]_{/(x^2+1,7)}$ è un campo[nota]con il teorema degli omomorfismi si mostra che $ZZ[x]_{/(x^2+1,7)}~=\mathbb{F}_{7}$[/nota] (essendo $ZZ[x]$ un anello commutativo con unità) allora si ha la tesi. Ma stavo cercando un modo più diretto:
Supponiamo che esista un ideale non banale $J$ t.c. $I=(7,x^2+1) \sub J$ allora $J$ contiene 7 quindi almeno un generatore di $J$ è una costante ed è o 1 o 7, se è 1 allora $J=ZZ[x]$ ideale banale e abbiamo finito, se è 7 vuol dire che l'ideale $(x^2+1)$ è contenuto all'interno di un altro ideale non banale, ma questo è assurdo poiché è massimale. Concludiamo che $I$ è massimale.
Risposte
Ma perché dici che $(x^2+1)$ è massimale quando hai davanti gli occhi $(x^2+1,7)$, un ideale proprio che lo contiene strettamente?
Hai ragione ho fatto confusione con $Q[x]$, che errore imbarazzante 
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