Dimostrazione Esercizio M.C.D

[M.C.D.1]

Ragazzi Chiedo aiuto a voi
Ho questa dimostrazione che non riesco ad impostare ^^

Siano a e b interi positivi tali che (a,b)=1 Dimostrare che (2a+3b, 3a+2b)=1 oppure 5

Ringrazio anticipatamente per gli aiuti ^^

[Studente Anonimo]

Osserva che se $d$ divide due interi $x$ e $y$ allora divide anche le loro "combinazioni intere" $alpha x+beta y$ (cioè le somme di questo tipo con $alpha,beta$ interi). Si tratta di trovare una "combinazione intera" utile per i tuoi scopi.

[M.C.D.1]

Si avevo presente tale proprieta'
ma non riesco a sfruttarla

[Gatto891]

Io inizierei così: sia $d = (2a +3b, 3a +2b)$ (chiamarlo $d$ è sempre di buon auspicio ).

Ora, vista la proprietà citata di Martino, hai che $d|(2a +3b +3a +2b) = 5(a+b)$ e $d|(2a +3b -3a -2b) = (a-b)$. Ma analogamente a prima, se $d|5(a+b)$ e $d|(a-b)$ divide ogni loro combinazione lineare, quindi in particolare...

[Studente Anonimo]

Un metodo alternativo è osservare che se $d$ divide $2a+3b$ e $3a+2b$ allora divide [tex]3(2a+3b)-2(3a+2b)[/tex] e anche [tex]3(3a+2b)-2(2a+3b)[/tex]