Dimostrazione equazioni diofantee
Sia $n \in N*$ . Si provi che l’equazione diofantea $x + 2xy + y = n$ ha soluzioni non banali (cioè $x \ne 0, y \ne 0$) se e solo se $2n + 1$ non è un numero primo.
Dimostro che se $2n+1$ non è primo allora l'equazione ammette soluzioni.
Pensavo di procedere in questo modo...
Se $2n + 1$ non è primo esistono $a, b$ divisori propri di $2n+1$ tali che $2n + 1 = ab$ e $3 \leq a,b \leq 2n - 1$.
Quindi $2n + 1 = ab$ ovvero $2n = ab - 1$ da cui $n = \frac{ab - 1}{2}$.
Quindi $\frac{ab - 1}{2} = x + 2xy + y$ e devo mostrare che questa ammette soluzioni. Come faccio?
Mi sono fermata qui per quanto riguarda questo verso della dimostrazione.
L'altro verso della dimostrazione non riesco proprio a ... capirlo.. Cioè se ammette soluzioni l'equazione diofantea, sia $(x,y)$ tale soluzione. Allora $x(1+2y) + y = n$ e quindi devo mostrare che $2n+1$ si può scrivere come prodotto di divisori propri....
Dall'equazione ho ricavato che $2n+1 = 2x(1+2y) + 2y + 1$ e siccome le soluzioni dell'equazione sono del tipo $(\frac{n-y}{1+2y}, y)$ posso sostituire la $x$ e ottenere $2n+1 = 2\frac{n-y}{1+2y}(1+2y) + 2y + 1$.. Svolgendo i conti dovrei dimostrare che $2n + 4ny +1+2y$ si può scrivere come prodotto di due divisori propri... Ma non saprei se questa è la strada giusta.. mi potete dare un mano
Grazie
Dimostro che se $2n+1$ non è primo allora l'equazione ammette soluzioni.
Pensavo di procedere in questo modo...
Se $2n + 1$ non è primo esistono $a, b$ divisori propri di $2n+1$ tali che $2n + 1 = ab$ e $3 \leq a,b \leq 2n - 1$.
Quindi $2n + 1 = ab$ ovvero $2n = ab - 1$ da cui $n = \frac{ab - 1}{2}$.
Quindi $\frac{ab - 1}{2} = x + 2xy + y$ e devo mostrare che questa ammette soluzioni. Come faccio?
Mi sono fermata qui per quanto riguarda questo verso della dimostrazione.
L'altro verso della dimostrazione non riesco proprio a ... capirlo.. Cioè se ammette soluzioni l'equazione diofantea, sia $(x,y)$ tale soluzione. Allora $x(1+2y) + y = n$ e quindi devo mostrare che $2n+1$ si può scrivere come prodotto di divisori propri....
Dall'equazione ho ricavato che $2n+1 = 2x(1+2y) + 2y + 1$ e siccome le soluzioni dell'equazione sono del tipo $(\frac{n-y}{1+2y}, y)$ posso sostituire la $x$ e ottenere $2n+1 = 2\frac{n-y}{1+2y}(1+2y) + 2y + 1$.. Svolgendo i conti dovrei dimostrare che $2n + 4ny +1+2y$ si può scrivere come prodotto di due divisori propri... Ma non saprei se questa è la strada giusta.. mi potete dare un mano
Grazie
Risposte
Considera $(2x+1)(2y+1)$.
Prova ad usare questo fatto: $2(x+2xy+y)=(2x+1)(2y+1)-1$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo