Dimostrazione di un teorema sulle congruenze

[Daffeen]

Ciao, dovrei dimostrare
\(\displaystyle a(bc) \equiv_m b \land MCD(a,m)=1 \implies ac \equiv_m 1 \)

È facile arrivare a dire che
\(\displaystyle \exists h \) tale che \(\displaystyle b(ac-1) = mh \)

Per dimostrare il teorema \(\displaystyle m \) deve rimanere la stessa, quindi dovrei dimostrare che \(\displaystyle b|h \) in modo tale da avere \(\displaystyle h = b*k \) e poter semplificare il tutto a
\(\displaystyle ac -1 = mk \) ma ho dei problemi a dimostrare ciò. Sareste così gentili da potermi aiutare un secondo? Grazie e buone feste.

[Daffeen]

Per chi fosse interessato, il mio "errore" era quello di cercare di dimostrarlo in \(\displaystyle Z \), mentre risolverlo con le classi risulta più semplice.
Dunque sia \(\displaystyle cb \) una soluzione di $ax \equiv_m b$, allora $acb \equiv_m b \iff [a]**[c] = \iff [a]*[c]**^-1 = *^-1 \iff [a]*[c] = [1] \iff ac \equiv_m 1$.

Notare però che $^-1$ esiste $\iff MCD(b,m) = 1$

[G.D.5]

Premesso che non so come risolvere il problema, la tua soluzione non va bene. O per lo meno non è completa. Per un motivo molto semplice: hai aggiunto una ipotesi, i.e. proprio il fatto che \( b \) e \( m \) siano coprimi. Cosa succede quando non lo sono?

[hydro1]

"daffeen":Ciao, dovrei dimostrare
\(\displaystyle a(bc) \equiv_m b \land MCD(a,m)=1 \implies ac \equiv_m 1 \)

Direi che è decisamente falso, no? prendi $m=b=4$, $a=3$, $c=1$.