Dimostrazione di un gruppo
Salve a tutti, nell'appello scorso di matematica discreta avevo questo esercizio: " Si dimostri che l'insieme H dei multipli di 15 è un gruppo rispetto all'usuale operazione di somma tra numeri interi." Dopo aver definito cos'è un gruppo, ed elencate le proprietà che un gruppo ha, come faccio a dimostrarlo?? 
Grazie mille in anticipo e buona giornata!
Grazie mille in anticipo e buona giornata!
Risposte
Come è definito il gruppo $(15ZZ,+)$?
\(\displaystyle H=(z\in Z : \exists h \in Z, z=15h) \)
Ok. Ora prova a vedere se $(H,+)$ verifica le proprietà di gruppo.
Tieni presente che puoi sfruttare il fatto che $(ZZ,+)$ è un gruppo.
Tieni presente che puoi sfruttare il fatto che $(ZZ,+)$ è un gruppo.
"Gi8":
Tieni presente che puoi sfruttare il fatto che $(ZZ,+)$ è un gruppo.
Da aprire SOLO se non capisci il suo suggerimento...
Da quello che io ho capito è che \(\displaystyle(\mathbb{Z}, +) \) è un gruppo perchè gode delle seguenti proprietà:
- \(\displaystyle \forall a,b,c \in \mathbb{Z} \) (a+b)+c=a+(b+c) -> proprietà associativa della somma,
- 0 è l'elemento neutro, infatti \(\displaystyle \forall a \in \mathbb{Z} \) a+0=a,
- la somma in \(\displaystyle \mathbb{Z} \) ammette l'opposto infatti \(\displaystyle \forall a \in \mathbb{Z} ,\exists -a \in \mathbb{Z} \) t.c. a+(-a)=0.
Per dimostrare che 15H è un sottogruppo di \(\displaystyle \mathbb{Z} \) devo verificare che:
- l'elemento neutro 0 appartiene a H,
- \(\displaystyle \forall \) h e k \(\displaystyle \in \) H h+k \(\displaystyle \in \) H,
- \(\displaystyle \forall \) h \(\displaystyle \in \) H, in reciproco (-h) di h appartiene a H
quello che non riesco a capire è come scriverlo in "termini matematici".
Ringrazio entrambi per gli aiuti.
- \(\displaystyle \forall a,b,c \in \mathbb{Z} \) (a+b)+c=a+(b+c) -> proprietà associativa della somma,
- 0 è l'elemento neutro, infatti \(\displaystyle \forall a \in \mathbb{Z} \) a+0=a,
- la somma in \(\displaystyle \mathbb{Z} \) ammette l'opposto infatti \(\displaystyle \forall a \in \mathbb{Z} ,\exists -a \in \mathbb{Z} \) t.c. a+(-a)=0.
Per dimostrare che 15H è un sottogruppo di \(\displaystyle \mathbb{Z} \) devo verificare che:
- l'elemento neutro 0 appartiene a H,
- \(\displaystyle \forall \) h e k \(\displaystyle \in \) H h+k \(\displaystyle \in \) H,
- \(\displaystyle \forall \) h \(\displaystyle \in \) H, in reciproco (-h) di h appartiene a H
quello che non riesco a capire è come scriverlo in "termini matematici".
Ringrazio entrambi per gli aiuti.
Per dimostrare che l'elemento neutro (cioè $0$) appartiene a $15ZZ$ devi mostrare che $EE h in ZZ $ tale che $15h=0$
Gi8 ti ha dato un indicazione, io provo a dartene un'altra proprio sull'associatività:
$AAa,b,c, in 15ZZ$, posto $a=15h$, $b=15k$, $c=15j$, per $h,k,j in ZZ$, allora $a+(b+c)=(a+b)+c=15h+(15k+15j)=15[h+(k+j)]=15[(h+k)+j] in 15ZZ$.
Prova adesso con le altre proprietà del gruppo.
$AAa,b,c, in 15ZZ$, posto $a=15h$, $b=15k$, $c=15j$, per $h,k,j in ZZ$, allora $a+(b+c)=(a+b)+c=15h+(15k+15j)=15[h+(k+j)]=15[(h+k)+j] in 15ZZ$.
Prova adesso con le altre proprietà del gruppo.
Come scritto prima l'associatività è data dal fatto che \(\displaystyle H\subseteq \mathbb{Z} \). Non è necessario dimostrarla.
L'unica cosa necessaria è dimostrare se vale il criterio dei sottogruppi in quanto un sottogruppo di un gruppo è un gruppo.
L'unica cosa necessaria è dimostrare se vale il criterio dei sottogruppi in quanto un sottogruppo di un gruppo è un gruppo.
"vict85":
Come scritto prima l'associatività è data dal fatto che \(\displaystyle H\subseteq \mathbb{Z} \). Non è necessario dimostrarla.
L'unica cosa necessaria è dimostrare se vale il criterio dei sottogruppi in quanto un sottogruppo di un gruppo è un gruppo.
Spero di non aver sbagliato con la mia indicazione, perché l'intento era solo "far vedere" come dimostrare le altre proprietà usando l'associatività, come esempio, seppure implicita.
Ringrazio tutti per le risposte!siete stati utilissimi!!
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