Dimostrazione di un gruppo
ho un dubbio su questa dimostrazione:
dato un insieme $G = {a + b sqrt(2) : a,b in Q }$,
dimostrare che l'insieme dotato dell'operazione di somma è un gruppo abeliano.
Ho un dubbio sulla chiusura di tale operazione rispetto all'insieme.
La chiusura deve essere dimostrata rispetto a Q o rispetto ad R?
Perchè effettivamente $sqrt(2) notin Q$.
Grazie dell'eventuale risposta.
dato un insieme $G = {a + b sqrt(2) : a,b in Q }$,
dimostrare che l'insieme dotato dell'operazione di somma è un gruppo abeliano.
Ho un dubbio sulla chiusura di tale operazione rispetto all'insieme.
La chiusura deve essere dimostrata rispetto a Q o rispetto ad R?
Perchè effettivamente $sqrt(2) notin Q$.
Grazie dell'eventuale risposta.
Risposte
La chiusura va verificata rispetto a G come insieme. Qualunque cosa esso sia.
L'operazione è interna, infatti $ x=a+\sqrt {2} b $ e $ y=a'+\sqrt {2} b'$ sono elementi qualsiasi di G:
$x+_Gy=(a+\sqrt {2}b)+_G(a'+\sqrt {2} b')=(a+_\mathbb {Q}a')+\sqrt {2}(b+_\mathbb {Q}b')=a''+\sqrt {2} b''\in G $
Dove $+_G$ e $+_\mathbb {Q}$ sono le operazioni rispettivamente dei gruppi $ (G,+)$ e$ (\mathbb {Q},+)$, dove "$\sqrt {2} $" è un simbolo (a priori) che si distribuisce ripetto alla somma tramite il prodotto su $\mathbb{Q}$, altrimenti non si potrebbe mettere $\sqrt {2} $ a fattor comune. Ma di questo ne siamo sicuri perché ( a posteriori) sappiamo che è un numero reale.
Il "+" che c'è in "$ a+\sqrt {2} b $" è un "+" vettoriale. Infatti il gruppo $G$ è uno spazio vettoriale su $\mathbb {Q}$ di base ${1,\sqrt {2} } $ e la sua costruzione è la stessa di $\mathbb {C} $ come spazio vettoriale su $\mathbb{R} $ dove $ i $ è un simbolo che fa quello che deve fare e come hai notato anche tu $ i \notin \mathbb {R} $. Perciò $\mathbb {C}$ è uno spazio vettoriale su $\mathbb {R}$ di base $\{1,i}$ e vale $\mathbb {C}={a + ib\|a, b \in \mathbb {R}}$.
L'operazione è interna, infatti $ x=a+\sqrt {2} b $ e $ y=a'+\sqrt {2} b'$ sono elementi qualsiasi di G:
$x+_Gy=(a+\sqrt {2}b)+_G(a'+\sqrt {2} b')=(a+_\mathbb {Q}a')+\sqrt {2}(b+_\mathbb {Q}b')=a''+\sqrt {2} b''\in G $
Dove $+_G$ e $+_\mathbb {Q}$ sono le operazioni rispettivamente dei gruppi $ (G,+)$ e$ (\mathbb {Q},+)$, dove "$\sqrt {2} $" è un simbolo (a priori) che si distribuisce ripetto alla somma tramite il prodotto su $\mathbb{Q}$, altrimenti non si potrebbe mettere $\sqrt {2} $ a fattor comune. Ma di questo ne siamo sicuri perché ( a posteriori) sappiamo che è un numero reale.
Il "+" che c'è in "$ a+\sqrt {2} b $" è un "+" vettoriale. Infatti il gruppo $G$ è uno spazio vettoriale su $\mathbb {Q}$ di base ${1,\sqrt {2} } $ e la sua costruzione è la stessa di $\mathbb {C} $ come spazio vettoriale su $\mathbb{R} $ dove $ i $ è un simbolo che fa quello che deve fare e come hai notato anche tu $ i \notin \mathbb {R} $. Perciò $\mathbb {C}$ è uno spazio vettoriale su $\mathbb {R}$ di base $\{1,i}$ e vale $\mathbb {C}={a + ib\|a, b \in \mathbb {R}}$.
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