Dimostrazione di un esercizio sui gruppi.

[klarence1]

Nelle soluzioni di un esercizio c'è scritto che se prendo il gruppo $Z/12Z$ $ax=0$ se e solo se l'ordine di $x$ divide $(A,12)$ dove $A$ rappresente la classe resto di $a$ modulo $12$ , ma non me ne riesco a convincere. Chi mi aiuta cercando di darmi una dimostrazione?

[vict85]

"klarence":Nelle soluzioni di un esercizio c'è scritto che se prendo il gruppo $Z/(12Z)$ $ax=0$ se e solo se l'ordine di $x$ divide $(A,12)$ dove $A$ rappresente la classe resto di $a$ modulo $12$ , ma non me ne riesco a convincere. Chi mi aiuta cercando di darmi una dimostrazione?

$ax = 0$ solo se $ax = 12m$. cioè nei casi $12|a$, $12|x$, $4|a$ e $3|x$, $3|a$ e $4|x$, $2|a$ e $6|x$ ed infine nel caso $6|a$ e $2|x$.

Prendiamo in considerazione $a$ e definiamo $(a, 12)=theta_a$ e $(x, 12)=theta_x$. Dall'uguaglianza scritta sopra $12|ax$ (o meglio $12|theta_a*theta_x$) e quindi $12/(theta_a)|theta_x$ e $12/(theta_x)|theta_a$

L'ordine del sottogruppo generato da $x$ è uguale a $12/(theta_x)$. E quindi si ha che l'ordine di $x$ divide $theta_a$.

[klarence1]

non riesco a leggere l'ultima riga...