...dimostrazione di iniettività...
Ciao a tutti.
Volevo chiderevi una cosa che mi perseguita da tempo.
Quando mi viene chiesto di dimostrare se una funzione data è iniettiva,suriettiva e quindi biettiva come devo agire?
A "caso" su coppie di numeri???
Mi spiego meglio.
La funzione è questa:$f(n,m)=(-m,-n)$ da $ZZxZZ rarr ZZxZZ$ e devo vedere se è iniettiva,suriettiva,biiettiva.
Volevo chiderevi una cosa che mi perseguita da tempo.
Quando mi viene chiesto di dimostrare se una funzione data è iniettiva,suriettiva e quindi biettiva come devo agire?
A "caso" su coppie di numeri???
Mi spiego meglio.
La funzione è questa:$f(n,m)=(-m,-n)$ da $ZZxZZ rarr ZZxZZ$ e devo vedere se è iniettiva,suriettiva,biiettiva.
Risposte
No certo che non a caso.
Basta applicare le definizioni.
Per l'iniettività devi mostrare che $f(n,m)=f(\bar(n),\bar(m)) \rArr (n,m)=(\bar(n),\bar(m))$
Mentre per la suriettività presa una generica coppia $(a,b) in ZZ \times ZZ$ devi mostrare che esiste una coppia $(m,n) in ZZ \times ZZ$ tale che $f(m,n)=(a,b)$
A questo punto ti basta applicare la definizione della $f$ e fare un po' di calcoli
Basta applicare le definizioni.
Per l'iniettività devi mostrare che $f(n,m)=f(\bar(n),\bar(m)) \rArr (n,m)=(\bar(n),\bar(m))$
Mentre per la suriettività presa una generica coppia $(a,b) in ZZ \times ZZ$ devi mostrare che esiste una coppia $(m,n) in ZZ \times ZZ$ tale che $f(m,n)=(a,b)$
A questo punto ti basta applicare la definizione della $f$ e fare un po' di calcoli
"mistake89":
No certo che non a caso.
Basta applicare le definizioni.
Per l'iniettività devi mostrare che $f(n,m)=f(\bar(n),\bar(m)) \rArr (n,m)=(\bar(n),\bar(m))$
Se mi facessi un esempio te ne sarei grato!
Ma scusa, ho usato la tua $f$, più esempio di quello 
Dalla relazione $f(n,m)=f(\bar(n),\bar(m))$ hai, per definizione della $f$ che $(-n,-m)=(-bar(n),-bar(m))$; questo ovviamente vale componente per componente da cui $-n=-\bar(n) \rArr n=\bar (n)$ e $-m=-\bar(m) rArr m=\bar(m)$; quindi $(n,m)=(\bar(n),\bar(m))$, che era ciò che volevamo mostrare.
Come vedi non era difficile, dovevi solo pensarci un po'
Dalla relazione $f(n,m)=f(\bar(n),\bar(m))$ hai, per definizione della $f$ che $(-n,-m)=(-bar(n),-bar(m))$; questo ovviamente vale componente per componente da cui $-n=-\bar(n) \rArr n=\bar (n)$ e $-m=-\bar(m) rArr m=\bar(m)$; quindi $(n,m)=(\bar(n),\bar(m))$, che era ciò che volevamo mostrare.
Come vedi non era difficile, dovevi solo pensarci un po'
"Pozzetto":
La funzione è questa:$f(n,m)=(-m,-n)$ da $ZZxZZ rarr ZZxZZ$
ok,ora l'iniettività mi è chiara.
Per quanto riguarda la suriettività posso fare così?
Suppongo che una generica coppia $(1,2)in Imf$il che implica $f(n,m)=(1,2)$
$f(n,m)=(-m,-n)=(1,2)$
$m=1$
$n=2$
I punti trovati non sono quelli iniziale quindi f non è suriettiva giusto?
Per quanto riguarda la suriettività posso fare così?
Suppongo che una generica coppia $(1,2)in Imf$il che implica $f(n,m)=(1,2)$
$f(n,m)=(-m,-n)=(1,2)$
$m=1$
$n=2$
I punti trovati non sono quelli iniziale quindi f non è suriettiva giusto?
Per la suriettività devi provare che [tex]\forall a,b \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}[/tex] [tex]\exists m, n \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}[/tex] tali che [tex]f(m, n) = (a, b)[/tex]. Basta quindi prendere [tex]m=-b[/tex] e [tex]n= -a[/tex] per ottenere quanto richiesto e quindi la tua funzione è suriettiva. Spero di aver capito bene l'esercizio.
Io ho fatto così:
Prendo un qualsiasi elemento del codominio $(u,v)$,devo trovare un elemento $(x,y)$ del dominio tale che $f(x,y)=(u,v)$ cioè $(-m,-n)=(u,v)$
Dati $u,v in ZZ$ stiamo cercando $x,y$ con $-m=u$ e $-n=v$ allora $m=-u$ e $n=-v$
giusto?
Prendo un qualsiasi elemento del codominio $(u,v)$,devo trovare un elemento $(x,y)$ del dominio tale che $f(x,y)=(u,v)$ cioè $(-m,-n)=(u,v)$
Dati $u,v in ZZ$ stiamo cercando $x,y$ con $-m=u$ e $-n=v$ allora $m=-u$ e $n=-v$
giusto?
Se non capisco male hai scritto la stessa cosa che ho scritto io. Solo non capisco da dove escono [tex]m, n[/tex].
Dalla definizione di funzione!
"Pozzetto":
Io ho fatto così:
Prendo un qualsiasi elemento del codominio $(u,v)$,devo trovare un elemento $(x,y)$ del dominio tale che $f(x,y)=(u,v)$ cioè $(-m,-n)=(u,v)$
Dati $u,v in ZZ$ stiamo cercando $x,y$ con $-m=u$ e $-n=v$ allora $m=-u$ e $n=-v$
giusto?
Io scriverei "devo trovare un elemento [tex](x, y)[/tex] del dominio tale che [tex]f(x, y)=(u, v)[/tex] cioè [tex](x,y)=(-v, -u)[/tex]".
Mi sono accorto che ho sbagliato una cosa nella mio post precedente.
La definizione della tua $f$ è diversa, quindi sarebbe $(-m,-n)=(-\bar(m),-\bar(n))$ ma la sostanza non cambia!
La definizione della tua $f$ è diversa, quindi sarebbe $(-m,-n)=(-\bar(m),-\bar(n))$ ma la sostanza non cambia!
Sempre per rimanere in tema di dimostrazioni di iniettività/suriettività vi propongo un altro quesito con relativa mia soluzione così magri se sbagliato potete correggermi.
Sia $D={1,3,5,7,9,...}$ l 'insieme dei numeri dispari e $g:NNrarrD$ la funzione $g(n)=2n+1$.Dimostrare che $g$ è biunivoca.
Allora:per dimostrare che è biunivoca mi occorre dimostrare che è iniettiva e suriettiva giusto?
Dim di iniettività:
$g(n)=g(n')$
$2n+1=2n'+1$ ovvero $n=n'$ è ho dimostrato l'iniettività ok fino qua?
Dim di suriettività:
Prendo un elemento qualsiasi del codominio,lo chiamo $x$,devo trovare un elemento $y$ del dominio tale che $f(y)=x$,cioè $2y+1=x$ ovvero $y=(x-1)/2$
è corretto?
Sia $D={1,3,5,7,9,...}$ l 'insieme dei numeri dispari e $g:NNrarrD$ la funzione $g(n)=2n+1$.Dimostrare che $g$ è biunivoca.
Allora:per dimostrare che è biunivoca mi occorre dimostrare che è iniettiva e suriettiva giusto?
Dim di iniettività:
$g(n)=g(n')$
$2n+1=2n'+1$ ovvero $n=n'$ è ho dimostrato l'iniettività ok fino qua?
Dim di suriettività:
Prendo un elemento qualsiasi del codominio,lo chiamo $x$,devo trovare un elemento $y$ del dominio tale che $f(y)=x$,cioè $2y+1=x$ ovvero $y=(x-1)/2$
è corretto?
Eh ma non è detto che tale $y$ appartenga al dominio da come la scrivi.
L'osservazione da fare è che gli elementi di $D$ possono essere scritti proprio nella forma $2k+1$ con $k in NN$.
L'iniettività è giusta.
L'osservazione da fare è che gli elementi di $D$ possono essere scritti proprio nella forma $2k+1$ con $k in NN$.
L'iniettività è giusta.
Secondo me invece va bene anche la suriettività
basta aggiungere, per dimostrare che $y=(x-1)/2$ appartiene al dominio,
che siccome $x$ è un numero dispari (positivo), allora $x-1$ è pari e non negativo e quindi $(x-1)/2 in NN$
basta aggiungere, per dimostrare che $y=(x-1)/2$ appartiene al dominio,
che siccome $x$ è un numero dispari (positivo), allora $x-1$ è pari e non negativo e quindi $(x-1)/2 in NN$
"Gi8":
Secondo me invece va bene anche la suriettività
basta aggiungere, per dimostrare che $y=(x-1)/2$ appartiene al dominio,
che siccome $x$ è un numero dispari (positivo), allora $x-1$ è pari e non negativo e quindi $(x-1)/2 in NN$
Mi riferivo proprio a questo!
Certo, è un modo equivalente di dire quello che ho detto io 
Solo che l'osservazione andava fatta, solo questo
Solo che l'osservazione andava fatta, solo questo
Perfetto allora!
Grazie a entrambi!
Grazie a entrambi!
"mistake89":Ok, avevo interpretato male la tua osservazione precedente
Certo, è un modo equivalente di dire quello che ho detto io
Solo che l'osservazione andava fatta, solo questo
Ti chiedo scusa, sto perdendo colpi
Perdonatemi se insisto su queste dimostrazioni ma vorrei che mi entrassero bene in mente.
Il problema successivo è questo:
Dimostrare che la funzione $h:NNxNNrarrNNxD$ definita come $h(n,m)=(n,g(m))$ è bigettiva.
Dim di iniettività:
$h(n,m)=h(n',m')$
$(n,g(m))=(n',g(m'))$
$n=n'$
$g(m)=g(m')$ e ho dimostrato l'iniettività
Dim di suriettività:
Prendo un elemento qualsiasi del codominio,lo chiamo $(x,y)$ devo trovare un elemento$(z,w)$ del dominio tale che $f(z,w)=(x,y)$ giusto?
E in questo punto mi blocco.
Grazie a tutti.
Il problema successivo è questo:
Dimostrare che la funzione $h:NNxNNrarrNNxD$ definita come $h(n,m)=(n,g(m))$ è bigettiva.
Dim di iniettività:
$h(n,m)=h(n',m')$
$(n,g(m))=(n',g(m'))$
$n=n'$
$g(m)=g(m')$ e ho dimostrato l'iniettività
Dim di suriettività:
Prendo un elemento qualsiasi del codominio,lo chiamo $(x,y)$ devo trovare un elemento$(z,w)$ del dominio tale che $f(z,w)=(x,y)$ giusto?
E in questo punto mi blocco.
Grazie a tutti.
Eccone un'altra:
Sia $f:NNxNNrarrZZ$ definita da $f(n,m)=n-m$.Determinare se è iniettiva o suriettiva dando una dimostrazionee fornendo un controesempio.
Io ho svolto in questo modo:
Dim iniettività:
$f$ non è iniettiva perchè ad esempio $f(2,1)=1$ e $f(3,2)=1$.
Dim suriettività:
Prendo un elemento $y$ del codominio,devo trovare un elemento $(x,y)$ del dominio tale che $f(x,y)=y$.
$x-y=y rarr x=2y rarr y=x/2$, ma $y$ non è codominio.
Può andare?
Sia $f:NNxNNrarrZZ$ definita da $f(n,m)=n-m$.Determinare se è iniettiva o suriettiva dando una dimostrazionee fornendo un controesempio.
Io ho svolto in questo modo:
Dim iniettività:
$f$ non è iniettiva perchè ad esempio $f(2,1)=1$ e $f(3,2)=1$.
Dim suriettività:
Prendo un elemento $y$ del codominio,devo trovare un elemento $(x,y)$ del dominio tale che $f(x,y)=y$.
$x-y=y rarr x=2y rarr y=x/2$, ma $y$ non è codominio.
Può andare?
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