Dimostrazione di divisibilità per un numero
Salve, ho questi due esercizi che sono lo stesso esercizio ma con dati diversi (li metto entrambi così si può scegliere l'esercizio più veloce da risolvere):
PRIMO:
$AAninZZ$ sia $a_n=3n^26+5n^7+4n^2+2n$. Provare che gli $a_n$ sono tutti multipli di 7. Per quali valori di n sono anche multipli di 15?
SECONDO:
è vero o no che $AAninZZ$ il numero $a_n=n^9+2n^7+3n^3+4n$ è divisibile per 5? per quali valori esso NON è divisibile per 30?
Ho provato a risolvere per induzione ma non so come proseguire.
Ho provato a porre $a_n=0(mod 7)$ (o $a_n=0(mod 5)$ nel secondo) ma anche in questo caso non saprei come andare avanti.
Come dovrei fare?
Grazie in anticipo
PRIMO:
$AAninZZ$ sia $a_n=3n^26+5n^7+4n^2+2n$. Provare che gli $a_n$ sono tutti multipli di 7. Per quali valori di n sono anche multipli di 15?
SECONDO:
è vero o no che $AAninZZ$ il numero $a_n=n^9+2n^7+3n^3+4n$ è divisibile per 5? per quali valori esso NON è divisibile per 30?
Ho provato a risolvere per induzione ma non so come proseguire.
Ho provato a porre $a_n=0(mod 7)$ (o $a_n=0(mod 5)$ nel secondo) ma anche in questo caso non saprei come andare avanti.
Come dovrei fare?
Grazie in anticipo
Risposte
"lil_lakes":
$AAninZZ$ sia $a_n=3n^26+5n^7+4n^2+2n$. Provare che gli $a_n$ sono tutti multipli di 7
Se $n$ è multiplo di $7$, si ha banalmente che $a_n$ è multiplo di $7$.
Se $n$ non è multiplo di $7$, per il piccolo teorema di Fermat abbiamo $n^6 -= 1 (mod 7)$,
quindi $a_n$ è multiplo di $7$, in quanto:
$a_n = 3n^26+5n^7+4n^2+2n = 3 n^2 *n^24 +5 n * n^6 + 4 n^2 +2n =$
$= 3 n^2 *(n^6)^4 +5 n * n^6 + 4 n^2 +2n -= 3 n^2 *(1)^4 +5 n * 1 + 4 n^2 +2n (mod 7)=$
$ = 3n^2 +5n +4n^2 +2n = 7n^2 +7 n -= 0 (mod 7)$
Grazie mille. Dunque per completare la seconda consegna (quella che chiede gli n che rendono $a_n$ divisibile per 15) devo calcolare gli n che rendono $a_n$ divisibile per 3 e per 5:
DIVISIBILITÁ PER 3:
per il piccolo teorema di Fermat abbiamo $n^2-=1(mod 3)$ quindi:
$a_n=3+5n+4+2n=7n+7=7(n+1)=n+1$
calcolo: $n+1-=0(mod 3) \rArr n=2(mod 3)$ quindi $a_n$ divisibile per 3 $AA n in [2]_3$
DIVISIBILITÁ PER 5:
per il piccolo teorema di Fermat abbiamo $n^4-=1(mod 5)$ quindi:
$a_n=3n^2+5n^3+4n^2+2n=5n^3+7n^2+2n=n(5n^2+7n+2)=n(5n+2)(n+1)$
calcolo: $n(5n+2)(n+1)-=0(mod 5)$ per risultare vera almeno uno dei 3 fattori deve risultare congruente a $0(mod 5)$.
$n-=0(mod 5) $vera$ AA n in [0]_5$
$5n+2-=0(mod 5)\rArr 2-=0(mod 5)$ sempre falsa quindi mai divisibile per 5
$n+1-=0(mod 5)\rArr n-=4(mod 5) $vera$ AA n in [4]_5$
QUINDI:
per rendere $a_n$ divisibile per 15, $n in {[2]_3 nn [0]_5} vv n in {[2]_3 nn [4]_5}$
per calcolare precisamente questi n devo porre a sistema
$\{(n=2(mod 3)),(n=0(mod 5)):}$ $\{(n=2(mod 3)),(n=4(mod 5)):}$
le soluzioni di questi sistemi saranno le formule per calcolare tutti gli n che rendono $a_n$ divisibile per 15
i risultati dei sistemi, se ho fatto bene i conti, dovrebbero essere $5 (mod 15)$ e $3 (mod 15)$ il che vuol dire che:
$a_n$ è divisibile per 15 $AA n in [3]_15$ e $AA n in [5]_15$
è corretto?
DIVISIBILITÁ PER 3:
per il piccolo teorema di Fermat abbiamo $n^2-=1(mod 3)$ quindi:
$a_n=3+5n+4+2n=7n+7=7(n+1)=n+1$
calcolo: $n+1-=0(mod 3) \rArr n=2(mod 3)$ quindi $a_n$ divisibile per 3 $AA n in [2]_3$
DIVISIBILITÁ PER 5:
per il piccolo teorema di Fermat abbiamo $n^4-=1(mod 5)$ quindi:
$a_n=3n^2+5n^3+4n^2+2n=5n^3+7n^2+2n=n(5n^2+7n+2)=n(5n+2)(n+1)$
calcolo: $n(5n+2)(n+1)-=0(mod 5)$ per risultare vera almeno uno dei 3 fattori deve risultare congruente a $0(mod 5)$.
$n-=0(mod 5) $vera$ AA n in [0]_5$
$5n+2-=0(mod 5)\rArr 2-=0(mod 5)$ sempre falsa quindi mai divisibile per 5
$n+1-=0(mod 5)\rArr n-=4(mod 5) $vera$ AA n in [4]_5$
QUINDI:
per rendere $a_n$ divisibile per 15, $n in {[2]_3 nn [0]_5} vv n in {[2]_3 nn [4]_5}$
per calcolare precisamente questi n devo porre a sistema
$\{(n=2(mod 3)),(n=0(mod 5)):}$ $\{(n=2(mod 3)),(n=4(mod 5)):}$
le soluzioni di questi sistemi saranno le formule per calcolare tutti gli n che rendono $a_n$ divisibile per 15
i risultati dei sistemi, se ho fatto bene i conti, dovrebbero essere $5 (mod 15)$ e $3 (mod 15)$ il che vuol dire che:
$a_n$ è divisibile per 15 $AA n in [3]_15$ e $AA n in [5]_15$
è corretto?
Perdona il ritardo nella risposta 
Questo se $n$ è non multiplo di $3$.
Banalmente, comunque, se $n$ è multiplo di $3$ anche $a_n$ lo è.
Per quanto detto prima, $a_n$ divisibile per $3$ se $n-= 0 (mod 3) vv n-= 2 (mod 3)$.
Identico a prima: $a_n$ divisibile per $5$ se $n-= 0 (mod 5) vv n-= 4 (mod 5)$.
Quindi ci sono quattro casi da considerare:
1) ${(n-=0 (mod 3)),(n-=0 (mod 5)):} => n-= 0 (mod 15)$
2) ${(n-=2 (mod 3)),(n-=0 (mod 5)):} => n-= 5 (mod 15)$
3) ${(n-=0 (mod 3)),(n-=4 (mod 5)):} => n-= 9 (mod 15)$
4) ${(n-=2 (mod 3)),(n-=4 (mod 5)):} => n-=14 (mod 15)$
"lil_lakes":
DIVISIBILITÁ PER 3:
per il piccolo teorema di Fermat abbiamo $n^2-=1(mod 3)$ ...
Questo se $n$ è non multiplo di $3$.
Banalmente, comunque, se $n$ è multiplo di $3$ anche $a_n$ lo è.
"lil_lakes":
...$ a_n $ divisibile per 3 $ AA n in [2]_3 $
Per quanto detto prima, $a_n$ divisibile per $3$ se $n-= 0 (mod 3) vv n-= 2 (mod 3)$.
"lil_lakes":
DIVISIBILITÁ PER 5:
...
vera$ AA n in [4]_5 $
Identico a prima: $a_n$ divisibile per $5$ se $n-= 0 (mod 5) vv n-= 4 (mod 5)$.
Quindi ci sono quattro casi da considerare:
1) ${(n-=0 (mod 3)),(n-=0 (mod 5)):} => n-= 0 (mod 15)$
2) ${(n-=2 (mod 3)),(n-=0 (mod 5)):} => n-= 5 (mod 15)$
3) ${(n-=0 (mod 3)),(n-=4 (mod 5)):} => n-= 9 (mod 15)$
4) ${(n-=2 (mod 3)),(n-=4 (mod 5)):} => n-=14 (mod 15)$
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