Dimostrazione del principio del minimo

[marcus1121]

Ho già una dimostrazione del principio del minimo che mi è sinceramente poco chiara, perchè principiante, se qualcuno di voi me ne formula una potrei confrontare la mia con la vostra...

Sempre grazie

[G.D.5]

Non è che esitano molte dimostrazioni del principio del minimo.
Il principio del minimo equivale a quello di induzione: assunto cioè uno dei due come assioma per i naturali, con esso si prova l'altro.
Il principio del minimo compare come assioma per i naturali nel sistema assiomatico del Pieri, mentre quello di induzione in quello di Peano.
Nel 99,99% dei casi i naturali sono costruiti secondo gli assiomi di Peano.

[marcus1121]

Ho questa dimostrazione del principio del minimo....

Dimostrazione per assurdo del principio del minimo:
Vi chiederei degli esempi per meglio capire questa dimostrazione.

Supponiamo che esista un sottoinsieme S di Z, che non sia vuoto, e tale che esista un intero n0 minore o uguale rispetto a tutti gli elementi di S, ma che non abbia minimo.

Mi chiedo: questo n0 si intende nell’insieme o fuori dall’insieme S? Io penso nell’insieme S…ma ho dubbi nell’interpretazione.

L’insieme S non è vuoto, dunque conterrà un elemento r0.
Con r0 si intende un intero qualsiasi?
Questo r0 non è il minimo di S, perché tale minimo non esiste, quindi dovrà esistere in S un elemento r1 minore di r0. Per la stessa ragione esisterà un elemento r2 minore di r1, un r3 minore di r2, eccetera.
Qui ho dubbi.

Osserviamo ora(e si tratta dell’osservazione cruciale), che non esistono interi maggiori di 0 e minori di 1, e perciò se $m$ e $n$ sono due interi con $ m
Qui ho capito questo: non esistono interi minori di 1 e maggiori di 0.

necessariamente si ha $ m<= n-1$ l’interpreto così che dati due interi con $m< n$ al massimo $m$ e $n$ uguali.

Avremo quindi $ r1<= r0$, $ r2<= r1-1<= r0-2$, $ r3<=r2-1<=r0-3$, e in generale $rk<=r1-k$.
Qui penso di non aver capito. Mi occorre un esempio con numeri.

Se prendiamo però $k$ maggiore di $r0-n0$ vediamo che $rk$ dovrà essere minore di n0, contrariamente all'ipotesi fatta.
Qui ho molti dubbi.

Grazie

[amel3]

Visto che so dove hai preso questo estratto , provo a riordinare un po' le idee. Allora, prima di tutto ricordiamo l'enunciato del principio del minimo.

Principio del minimo.
Sia $S$ sottoinsieme non vuoto di $ZZ$. Supponiamo che esista un intero $n_0$ tale che tutti gli elementi di $S$ sono maggiori o uguali di $n_0$. Allora $S$ ha minimo.

Allora la "dimostrazione" (se così si può chiamare) consiste nel negare l'asserto; cioè, visto che dobbiamo provare "date le ipotesi il minimo esiste", noi proviamo a dire "date le ipotesi il minimo non esiste" e mostriamo che ciò porta a conseguenze assurde.
Allora noi supponiamo valide le ipotesi, cioè che esista un intero $n_0$ tale che tutti gli elementi di $S \sube ZZ$ sono maggiori o uguali di $n_0$. Notare, per venire alla tua prima domanda che $n_0$ è un intero, non necessariamente sta in $S$, ma è tale che $n>=n_0$ per ogni $n \in S$. Supponiamo (per assurdo) che il minimo non esista e proviamo che una tale supposizione porterebbe ad un'asserzione falsa.
Andiamo ora avanti con la tua seconda domanda: $S$ è non vuoto, quindi avrà almeno un elemento, dunque sceglierò un elemento $r_0$ in $S$ (almeno uno c'è…). Ricapitolando, no, $r_0$ non è un intero qualsiasi, ma precisamente è un elemento qualsiasi di $S$.
Terza domanda (insomma dove hai dubbi): $r_0$ sta in $S$, ma non può essere minimo, altrimenti il minimo di $S$ esisterebbe, ma noi abbiamo supposto il contrario. Cosa vuol dire che $r_0$ non è il minimo? Che esiste un elemento in $S$ più piccolo di $r_0$, cioè che esiste un $r_1 \in S$ tale che $r_1 < r_0$. Giustamente ti chiederai, ma se $S={x_0}$, io non ho un elemento $r_1$ del genere! Ma allora avrei già finito perché $S$ invece avrebbe minimo, cioè $r_0$ stesso.
Quindi itero con i ragionamenti fatti sopra: ho un $r_2 \in S$ con $r_2 Ora da quella che sarebbe l'osservazione cruciale (cioè che, se $m Ma allora avremo poi (non sto a ripetere questa parte della dimostrazione):
$r_k <= r_0 - k$ per ogni $k=1,2,3,….$ (*) (ahinoi qui c'era un refuso...)
In effetti per scrivere ciò si è usato implicitamente il principio di induzione.
Ora (*) vale per ogni $k$ intero positivo e se prendo $k>r_0-n_0$, allora $r_k<=r_0 - k<=r0-r0+n_0=n_0$, cioè $r_k Quindi ho un elemento $r_k \in S$ tale che $r_k< n_0$, ma ciò nega l'ipotesi che tutti gli elementi di $S$ sono maggiori o uguali di $n_0$. Da ciò l'assurdo. Fine.
Ciao, scusa se sono stato troppo lungo.

[marcus1121]

Grazie per l'aiuto e l'ottima spiegazione che sto cercando di capire.

Osserviamo ora(e si tratta dell’osservazione cruciale), che non esistono interi maggiori di 0 e minori di 1, e perciò se $m$ e $n$ sono due interi con $ m Mi puoi spiegare cosa ciò significa....non l'ho ancora capito!

Avremo quindi $ r1<= r0$, $ r2<= r1-1<= r0-2$, $ r3<=r2-1<=r0-3$, e in generale $rk<=r1-k$.
Ho bisogno di chiarimenti....

Grazie sempre e scusami

[amel3]

"marcus112":In generale $rk<=r1-k$.

Qui c'è il refuso, in realtà io ti avevo scritto un altro refuso, buonanotte, ora ho corretto...
In poche parole, non è $rk<=r1-k$, ma $rk<=r0-k$.

"marcus112":Osserviamo ora(e si tratta dell’osservazione cruciale), che non esistono interi maggiori di 0 e minori di 1, e perciò se $m$ e $n$ sono due interi con $ m Mi puoi spiegare cosa ciò significa....non l'ho ancora capito!

Ok, allora che non esistano interi compresi tra 0 e 1 direi che ci siamo, no? Almeno qui non scomodiamo questioni logiche, insiemistiche, ecc., diamolo per scontato, in fondo in pratica segue dalla definizione degli interi, no?
Se $mn-1$ e quindi avremmo $n-1 Se invece vogliamo una spiegazione intuitiva, il discorso è questo. Se $m ): prendi il puntino (l'intero) $n$. $m$ non è $n$ e sta a sinistra di $n$. Al massimo $m$ sarà $n-1$ oppure sarà più piccolo (più a sinistra) di $n-1$. Ecco perchè $m<=n-1$. Ad esempio, se $n=5$, allora, se $m<5$, allora $m$ non è 5 ed è più piccolo di 5; quindi $m$ è 4 o è ancora più piccolo, cioè $m<=4=5-1$.

Più di così su questo asserto non sono capace di spiegarmi.

Non scusarti, comunque, se ti sono stato di aiuto è stato un piacere, se no pazienza.

[marcus1121]

Se $mn-1$ e quindi avremmo $n-1
Provo a ragionare io, usando degli interi, per vedere se ho appreso:

partendo da $m<=4=5-1$

Se non fosse così avremmo, giustamente $m>5-1$ e quindi $(5-1)<5<6$.
Ma quindi avremmo (aggiungendo -(5-1)) $0<(5-5+1)<1$ e cioè un intero compreso tra 0 e 1, cioè un'assurdo.


Altro punto

Partiamo da qui:
$ r1<= r0$, $ r2<= r1-1<= r0-2$, $ r3<=r2-1<=r0-3$, e in generale $rk<=r0-k$.
Infatti se prendessi $r18<=r17-1$ che equivale a dire che $r18<=r0-18$ e da qui ritorniamo a dire che in
generale $rk<= r0-k$.

Non mi è ancora chiaro:

Ora (*) vale per ogni $k$ intero positivo e se prendo $k>r_0-n_0$, allora $r_k<=r_0 - k<=r0-r0+n_0=n_0$, cioè $r_k Quindi ho un elemento $r_k \in S$ tale che $r_k< n_0$, ma ciò nega l'ipotesi che tutti gli elementi di $S$ sono maggiori o uguali di $n_0$. Da ciò l'assurdo.

Puoi farmi un altro esempio così rifletto un pò?
Grazie per la collaborazione