Dimostrazione del piccolo teorema di Fermat

[Mrhaha]

Ciao ragazzi,
ho da poco fatto l'esame di Algebra 1,e ho ancora l'amaro in bocca per una dimostrazione. Mi chiedevo se esiste una dimostrazione più bella,magari anche più sofisticata del piccolo teorema di Fermat,e in caso affermativo,gentilmente potreste dirmela?
Grazie!

[Clorinda1]

"Mrhaha":Ciao ragazzi,
ho da poco fatto l'esame di Algebra 1,e ho ancora l'amaro in bocca per una dimostrazione. Mi chiedevo se esiste una dimostrazione più bella,magari anche più sofisticata del piccolo teorema di Fermat,e in caso affermativo,gentilmente potreste dirmela?
Grazie!

Immagino che tu abbia studiato la dimostrazione per induzione, la quale in effetti è un po' pesante..

Una dimostrazione più veloce sfrutta il teorema di Eulero-Fermat:

[EF]: Se n intero positivo e a coprimo rispetto a n, allora: $a^{\phi(n)}=1(mod n)$

Ove $\phi(n)$ è la funzione di Eulero che indica il numero di interi positivi compresi tra 1 e n che sono coprimi con n.

Per arrivare alla nostra tesi osserviamo che, poiché p è primo, $\phi(p)=p-1 \Rightarrow a^{\phi(p)}=1(mod p) $

Quindi: $a^{p-1}=1(mod p)$, moltiplicando per $a$ entrambi i membri si ottiene proprio: $a^{p}=a(mod p)$

P.S: per quanto riguarda la dimostrazione di [EF] si utilizzano le proprietà dei gruppi ciclici che probabilmente non hai ancora visto ( almeno, la mia Algebra 1 non li comprendeva ); avrai modo di studiarla successivamente!
P.P.S: mi viene ora il dubbio che tu abbia studiato questa dimostrazione e che tu ne stia cercando una ancora più bella e più sofisticata; in tal caso non posso esserti d'aiuto!

[Richard_Dedekind]

Una bella dimostrazione, a mio vedere, utilizza il campo quoziente [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex].
Ovviamente richiede una discreta conoscenza di teoria degli anelli.

[Clorinda1]

"Richard_Dedekind":Una bella dimostrazione, a mio vedere, utilizza il campo quoziente [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex].
Ovviamente richiede una discreta conoscenza di teoria degli anelli.

Ti riferisci alla dimostrazione di Ivory?

Se ben ricordo non è difficilissima e (almeno a grandi linee) segue questo ragionamento:

Poiché p non divide a, $S={0,a,2a..(p-1)a} $ è un sistema completo di residui mod p.
Allora si ha:
$a \cdot 2a \cdot .... \cdot (p-1)a = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (p-1) mod p \Rightarrow a^{p-1}(p-1)! =(p-1)!mod p$
Raccolgo $(p-1)!$ e ottengo: $a^{p-1}(p-1)!=p$
Ora, $p $ non divide $ (p-1)!$ quindi $p $ divide $ (a^{p-1}-1)$
Ciò significa che:
$a^{p-1}-1=kp \Rightarrow a^{p-1}= 1 mod p$
Da qui si ottiene: $a^{p}=a(mod p)$

c.v.d.

[Mrhaha]

Si le prime le conoscevo,l'ultima mi sembra interessante,ma per "sistema completo di residui mod p" indicate i resti?

[Richard_Dedekind]

Be', la dimostrazione che conosco io utilizza specificatamente anelli quoziente e operazioni su di essi. Non è difficile, ma per capirla bisogna ovviamente conoscere la teoria degli anelli. Io te la metto, poi vedi un po'.

Sia [tex]p[/tex] un primo. Consideriamo il campo [tex]A=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex] e priviamolo dello zero; scriveremo dunque [tex]A^* :=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\setminus \{p\mathbb{Z}\}[/tex]. Scegliamo dunque una generica classe [tex]\varepsilon \in A^*[/tex]: poiché [tex]A[/tex] è un campo e [tex]\varepsilon \neq 0_A[/tex], allora [tex]\varepsilon[/tex] è invertibile e la funzione [tex]f:A^*\longrightarrow A^*[/tex] tale che [tex]\forall \alpha \in A^*\,\, f(\alpha)=\varepsilon \alpha[/tex] è una biiezione di [tex]A^*[/tex] in sé stesso (è immediato da dimostrare). Alla luce di ciò osserviamo che [tex]f(A^*)=A^*[/tex] e quindi possiamo scrivere

[tex]\displaystyle \eta=\prod_{\alpha \in A^*}\alpha =\prod_{\alpha \in A^*}f(\alpha)=\prod_{\alpha \in A^*}\varepsilon\alpha=\varepsilon^{p-1}\cdot \prod_{\alpha \in A^*}\alpha=\varepsilon^{p-1}\eta[/tex]

da cui, usando la proprietà distributiva degli anelli,

[tex]\eta(1-\varepsilon^{p-1})=0\iff \varepsilon^{p-1}=1[/tex]

che è la tesi rimanendo in [tex]A[/tex]. Per esplicitare il tutto, supponiamo che [tex]\varepsilon=a+p\mathbb{Z}\,\,\exists\,a\in\mathbb{Z}[/tex] con [tex]p\nmid a[/tex] (altrimenti [tex]\varepsilon =p\mathbb{Z}[/tex]). Dunque

[tex]\varepsilon^{p-1}=1\Rightarrow (a+p\mathbb{Z})^{p-1}=1+p\mathbb{Z}\Rightarrow a^{p-1}+p\mathbb{Z}=1+p\mathbb{Z}\Rightarrow a^{p-1}\equiv 1\,\,\mod p\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\square[/tex]

Edit: è evidentemente la stessa cosa di quella citata un paio di messaggi fa e che io non avevo visto!