Dimostrazione banale

[anto_zoolander]

Ciao volevo dimostrare una cosa banale:

$0 0
prendo una successione $a_n=k^n, kin(0,1)$

Voglio dimostrare che $p(n): a_n>a_(n+1)$

$a_0>a_1=> 1>k$ che è vera, poiché $kin(0,1)$

Dunque suppongo vera la disequazione per un generico $n$ e dimostro che dall'essere vera $p(n)$ risulta vera $p(n+1)$

$p(n+1):a_(n+1)>a_(n+2)=>k^(n+1)>k^(n+2)=>k*k^n>k^(n+2)$

--------leggi edit---------

Per ipotesi induttiva dovrà essere vera

$p(n+1):k*k^(n)>k*k^(n+1)>k^(n+2)$ oppure $k*k^(n)>k^(n+2)>k*k^(n+1)$

Ma per anti-simmetria di $>$ Si conclude. Ho un dubbio solo sulla validità dell'antisimmetria in questo caso. Che ne pensate?

EDIT

rimangio le ultime 3 righe e riprendo da:

$p(n+1):a_(n+1)>a_(n+2)=>k^(n+1)>k^(n+2)=>k*k^n>k^(n+2)$

$k*k^n>k^(n+1)*k$ Ovver $p(n+1)=p(n)*k$

che è equivalente alla ipotesi induttiva, moltiplicata per $k$. la disequazione rimane vera poiché $k>0$ e non si cambia l'ordinamento. Dunque la disequazione è vera $foralln inNN$. Non so perché ho detto quella fesseria

[G.D.5]

\( 0 < k < 1 \implies 0 \cdot k < k \cdot k < 1 \cdot k \implies 0 < k^{2} < k \)

[anto_zoolander]

Ciao G.D grazie per la risposta. Se avessi detto 'dimostralo per un generico $n$', la mia sarebbe corretta?

[G.D.5]

Sì però attenzione: il passo induttivo prevede l'assunzione di \( k^{n} > k^{n+1} \) come ipotesi induttiva con cui provare la tesi induttiva \( k^{n+1} > k^{n+2} \). Tu inizi da \( k^{n+1} > k^{n+2} \) e mettendo in evidenza \( k \) concludi che

"anto_zoolander":
Ovvero \( p(n+1)=p(n) \cdot k \)
che è equivalente alla ipotesi induttiva, moltiplicata per \( k \). La disequazione rimane vera poiché \( k > 0 \) e non si cambia l'ordinamento.

Ora: innanzitutto \( p(n) \) è un predicato, quindi non ha alcun senso moltiplicarlo per \( k \).
Inoltre date due formule \( A \) e \( B \), queste possono al massimo essere equivalenti nel qual caso si scrive \( A \equiv B \).
Quindi la scrittura \( p(n+1)=p(n) \cdot k \) non ha proprio senso.

Inoltre a rigor di logica avresti dovuto prendere le mosse da \( k^{n} > k^{n+1} \) e moltiplicare ambo i lati per \( k \), per ottenere, previa la positività di \( k \), la tesi \( k^{n+1} > k^{n+2} \). Tu invece hai fatto il contrario. Ed è una cosa che personalmente ho visto fare anche altre volte, non solo a te: quando si vuole provare una disuguaglianza, spesso si parte proprio dalla disuguaglianza da provare e si mostra che partendo da questa si ottiene una disuguaglianza che pure vera è. Il "gioco" funziona purché le varie disuguaglianze che si ottengono siano tra loro equivalenti, ovvero purché tra una disuguaglianza e l'altra non valga semplicemente \( \implies \) ma valga anche (e soprattutto) \( \iff \): allora partendo da quella che dovrebbe essere la disuguaglianza da provare si mostra, andando a ritroso, che essa è equivalente ad una disuguaglianza che contiene la disuguaglianza vera per ipotesi e che per qualche motivo è vera (nel nostro caso \( k \cdot k^{n} > k \cdot k^{n+1} \) è vera perché per ipotesi induttiva è vera \( k^{n} > k^{n+1} \) e questa non è alterata dalla moltiplicazione ambo i lati per \( k \)); essendo vera la disuguaglianza a cui si giunge, si conclude. Ma attenzione 'ché se per qualche motivo con una delle disuguaglianze salta l'equivalenza, il "gioco" non regge.

[anto_zoolander]

tolta quella cosa brutta che ho scritto, in poche parole io ho dimostrato $Leftarrow$ quando volevo dimostrare $Rightarrow$

cioè sono andato a prendere $k^(n+1)>k^(n+2) => k^n>k^(n+1)$ e non al contrario. Ottimo

una cosa, per $equiv$ intendiamo $<=>$ giusto? nel libro di logica matematica che sto leggendo, i due simboli si equivalgono.

[G.D.5]

Veramente per come l'hai scritta, non hai dimostrato alcunché perché la catena di implicazioni che hai scritto parte da \( k^{n+1} > k^{n+2} \) che è esattamente ciò che si vuole provare essere vero. È che fare ciò non è considerato errore perché di solito le varie disuguaglianze che si scrivono sono equivalenti, vale cioè \( \iff \) e non solo \( \implies \). Tuttavia, se ci si vuole attenere solo a quello che c'è scritto, \( k^{n+1} > k^{n+2} \implies k \cdot k^{n} > k \cdot k^{n+1} \) non dimostra alcunché perché noi sappiamo che \( k^{n} > k^{n+1} \) è vera (essendo l'ipotesi induttiva) e che quindi è vera \( k \cdot k^{n} > k \cdot k^{n+1} \) (perché \( k > 0 \)) ma quell'implicazione è vera anche se \( k^{n+1} > k^{n+2} \) fosse stata (in qualche modo assurdo) falsa: ovviamente non lo è perché a sua volta \( k \cdot k^{n} > k \cdot k^{n+1} \implies k^{n+1} > k^{n+2} \). Insomma: basta usare \( \iff \) al posto di \( \implies \), a patto che sia lecito farlo, e andare al contrario non è un problema.

Per quanto riguarda \( \equiv \) e \( \implies \): sì e no. Il secondo è un connettivo, il primo no. Sono collegati in un certo modo (banalizzando nel senso che \( A \equiv B \) se e solo se \( A \iff B \) è una tautologia) ma nono sono proprio la stessa cosa.

[anto_zoolander]

Aspetta però ho preso come ipotesi induttiva che sia vera $k^(n)>k^(n+1)$

Il processo che faccio è questo $p(n)=>p(n+1)$

$p(n+1): k^(n+1)>k^(n+2)$

$p(n+1): k^(n)*k>k^(n*1)*k$

Questo è il processo che ho seguito.

Quindi prendo $p(n):k^n>k^(n+1)$ che è vera, moltiplicando per $k$ Ottengo $p(n+1)$.

Si avevo sbagliato a partire da $p(n+1)$ anziché da $p(n)$

-----

Mi potresti dare un wiki su questi due connettori? Te ne sarei molto grato.
So he la logica si tratta molto avanti, però mi piace.

[G.D.5]

Per come la vedo io, andare oltre la banalizzazione che ho proposto sopra, proponendo note che abbiano la pretesa di trattare la Logica Matematica in modo user-friendly dando al contempo delle nozioni esatte e consistenti che permettano di usare un ampio simbolismo logico fino ad abusarne, è sbagliato. O uno si attiene a qualcosa di divulgativo e come tale inquadra e usa ciò che di divulgativo ha letto, oppure uno utilizza determinati e pochi formalismi né più né meno come delle stenografie per significare determinate idee concepite intuitivamente e all'intuizione lasciate oppure uno studia.

Il punto è che per studiare certe cose, paradossalmente, occorre prima averle usate, perché per certe cose il livello di astrazione è così alto che uno poi finisce col chiedersi: "E io quand'è che ho usato questa roba?". Si corre il rischio in pratica di finire col percepire la formalizzazione del concetto e l'uso grezzo dello stesso come due fasi distinte e separate.
Se poi invece uno ha una capacità di astrazione super, buon per lui: parte in quarta e tanto di guadagnato.

Quindi il mio consiglio è: usa per il momento un minimo di simbolismo logico, quanto basta; se puoi esprimerti a parole, è meglio. Quando poi comincerai a studiare in modo sistematico la Matematica con un certo livello di astrazione, dopo un po', il tempo di prendere confidenza con certe idee e certi meccanismi, comincia ad affiancare qualche lettura, e.g. le ottime dispense di Lolli, che spiega molto bene, secondo me, e fa anche molti riferimenti bibliografici nei suoi lavori, sicché, volendo, dopo aver letto i suoi lavori è possibile ampliare attingendo proprio alle fonti che lui cita.